30-60-90 Triángulo: Teorema, propiedades y fórmula

Publicado el 23 septiembre, 2020

Triángulos especiales

Si ha tenido alguna experiencia con la geometría, probablemente sepa que hay muchos tipos diferentes de triángulos. Se pueden clasificar por longitud de lado (isósceles, escaleno o equilátero) o por medida de ángulo (agudo, obtuso o recto). Además, algunos de estos tipos pueden clasificarse aún más en grupos más pequeños. Esta lección examinará un tipo de triángulo rectángulo , que es un triángulo que tiene exactamente un ángulo recto o de 90 grados. Este tipo específico es un triángulo 30-60-90 , que es solo un triángulo rectángulo donde los dos ángulos agudos son 30 y 60 grados. ¿Por qué este triángulo específico tiene un nombre especial? Vamos a averiguar.

Cualidades de un triángulo 30-60-90

Un triángulo 30-60-90 es especial debido a la relación de sus lados. Con suerte, recuerdas que la hipotenusa en un triángulo rectángulo es el lado más largo, que también está directamente enfrente del ángulo de 90 grados. Resulta que en un triángulo 30-60-90, puedes encontrar la medida de cualquiera de los tres lados, simplemente conociendo la medida de al menos un lado del triángulo.

La hipotenusa es igual al doble de la longitud del cateto más corto, que es el lado opuesto al ángulo de 30 grados. El cateto más largo, que está frente al ángulo de 60 grados, es igual a multiplicar el cateto más corto por la raíz cuadrada de 3. Esta imagen muestra esta relación en la que x representa el cateto más corto.

ejemplo de triángulo 30-60-90

Por supuesto, para ir en la dirección opuesta se puede dividir, en lugar de multiplicar, por el factor apropiado. Así, las relaciones se pueden resumir así:

Pierna más corta —> Pierna más larga: Multiplica por la raíz cuadrada de 3
Pierna más larga —> Pierna más corta: Divide por la raíz cuadrada de 3
Pierna más corta —> Hipotenusa: Multiplica por 2
Hipotenusa —> Pierna más corta: Divide por 2

Observe que el cateto más corto sirve como puente entre los otros dos lados del triángulo. Puede pasar del cateto más largo a la hipotenusa, o viceversa, pero primero “pasa” por el cateto más corto al encontrar su valor. En otras palabras, no existe una ruta directa desde el tramo más largo hasta la hipotenusa, o viceversa.

Problemas de ejemplo

Echemos un vistazo a algunos ejemplos.

Ejemplo 1

Este es un triángulo 30-60-90 con una longitud de lado dada. Vamos a encontrar la longitud de los otros dos lados, una y b .

problema de ejemplo 1

Dado que el lado que le dan, 8, está frente al ángulo de 30 grados, será la pierna más corta. Para encontrar el cateto más largo, o a , puedes simplemente multiplicarlo por la raíz cuadrada de 3 para obtener 8 raíz cuadrada 3. Para hallar la hipotenusa, ob , puedes simplemente multiplicar por el cateto más corto por 2. Por lo tanto, será sea ​​8 * 2 = 16.

Ejemplo 2

Aquí hay un triángulo 30-60-90 con la longitud de un lado dada. Vamos a encontrar la longitud de los otros dos lados, x e y .

problema de ejemplo 2

Se le da la longitud de la hipotenusa en este problema. Por lo tanto, primero debes encontrar la longitud del cateto más corto, que es x . Puede hacer esto dividiendo la hipotenusa, 20, por 2 para obtener x = 10. Ahora que conoce el valor del cateto más corto, puede multiplicarlo por la raíz cuadrada de 3 para encontrar la y . El cateto más largo será 10 raíz cuadrada 3.

Ejemplo 3

Aquí hay un triángulo 30-60-90 con la longitud de un lado dada. Vamos a encontrar la longitud de los otros dos lados, c y d .

problema de ejemplo 3

La longitud del lado que se le da aquí, 9, es el valor de la pierna más larga, ya que está frente al ángulo de 60 grados. Por lo tanto, primero debe encontrar el valor del cateto más corto, c , antes de poder determinar el valor de la hipotenusa, d . Para encontrar c , necesitará dividir 9 por la raíz cuadrada de 3. Sin embargo, debe reconocer que una vez que haga esto, la expresión que obtenga, 9 / raíz cuadrada 3, debe simplificarse ya que no se le permite tener una radical en el denominador de una fracción. Para simplificarlo, necesitará racionalizar el denominadormultiplicando tanto el numerador como el denominador por la raíz cuadrada de 3. Recuerda que al multiplicar y dividir radicales, solo se pueden combinar los números fuera del radical y los números dentro del radical. El numerador se convertirá en 9 raíz cuadrada 3 y el denominador se convertirá en raíz cuadrada 9, o solo 3. Por lo tanto, ahora tiene (9 raíz cuadrada 3) / 3. El 9 en la parte superior y el 3 en la parte inferior se pueden cancelar, ya que ambos están fuera del radical, dejando una respuesta final de 3 raíz cuadrada 3 para c . El trabajo completo se muestra aquí:

simplificando 9 sobre la raíz cuadrada 3

Luego, tomará ese valor y lo multiplicará por 2 para encontrar el valor de d , la hipotenusa. Esto da 3 raíz cuadrada 3 * 2 o 6 raíz cuadrada 3.

Resumen de la lección

Los triángulos se pueden agrupar por la medida de sus ángulos y / o la longitud de sus lados. Los triángulos rectángulos son un grupo particular de triángulos y un tipo específico de triángulo rectángulo es un triángulo rectángulo 30-60-90 . Como sugiere el nombre, los tres ángulos del triángulo son 30, 60 y 90 grados. Como resultado, las longitudes de los lados en un 30-60-90 tienen relaciones especiales entre ellos que le permiten determinar los tres cuando solo se le da uno.

La hipotenusa es igual a 2 veces la longitud del cateto más corto y el cateto más largo es igual a la raíz cuadrada de 3 veces la longitud del cateto más corto. Estas relaciones también funcionan a la inversa y, en su lugar, puede dividir por 2 y la raíz cuadrada de 3 cuando sea necesario. Conocer estas relaciones es importante ya que 30-60-90 triángulos son bastante comunes, no solo en geometría, sino también en otras áreas de las matemáticas.

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