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Álgebra booleana: reglas, teoremas, propiedades y ejemplos

Publicado el 1 octubre, 2020

Introducción: ¿Qué es un booleano?

¿Verdadero o falso? ¡Esa es la pregunta! (Espera, pensé ¿ Ser o no ser? Era la pregunta …) El álgebra de Boole puede ayudar a encontrar la respuesta. Antes de profundizar en el álgebra booleana, actualice nuestro conocimiento en conceptos básicos de Boole.

El álgebra de Boole fue creado por un matemático George Boole (1815-1864) como un intento de precisar las reglas de la lógica . En el siglo XX, sin embargo, ha encontrado usos asombrosos en campos como la informática digital.


George Boole creó un sistema matemático para la lógica.
George Boole

Como en el álgebra regular , el álgebra booleana usa letras para representar valores y ciertos símbolos para representar operaciones sobre esos valores. Sin embargo, solo hay dos valores posibles en el álgebra booleana: Verdadero (1) o Falso (0). Además, las operaciones en el álgebra de Boole no son exactamente como la suma, resta, multiplicación o división que estamos acostumbrados a ver en álgebra. En su lugar, usamos AND, OR, NOT y operaciones similares.

Tablas de operaciones y verdad

Cualquier variable booleana, p , q , r , etc., puede tomar el valor 1 o 0. Este valor se denomina valor de verdad (1 significa Verdadero y 0 significa Falso ). Las letras pueden representar declaraciones específicas. Por ejemplo, p podría representar El cielo es azul y q podría representar 5 = 6 . Claramente, p es verdadera ( p = 1) y q es falsa ( q = 0).

Se puede usar una tabla de verdad para definir cada operación. En su forma más simple, una tabla de verdad enumera todos los valores posibles para cada variable en una fila separada. Solo una variable significa que solo hay dos valores posibles para ella, por lo que hay dos filas. Si hay dos variables, entonces hay 4 combinaciones, por lo tanto, 4 filas. Tres variables tendrán 8 filas (2 3 ). Y en general, lo adivinó, el número de filas se duplica a medida que se introducen más variables, de modo que si hay n variables, ¡la tabla contendrá 2 n filas!

Tablas de verdad para AND, OR y NOT

Combinando declaraciones

Las expresiones o declaraciones se pueden construir combinando variables booleanas con las operaciones definidas anteriormente. Entonces podríamos preguntarnos si el resultado es verdadero o falso. Siguiendo el ejemplo anterior, p Y q significaría El cielo es azul y 5 = 6. Aviso p Y q es falso (El cielo puede ser azul, pero 5 definitivamente no es igual a seis). Sin embargo, si hubiéramos considerado p OR q ( El cielo es azul o 5 = 6 ), entonces el valor general del enunciado es Verdadero (al menos una parte tenía que ser verdadera cuando se trataba de OR).

¿Cualquiera o?

Una palabra de advertencia, la operación OR no expresa realmente una elección. Por ejemplo, si p = El cielo es azul y r = 1 + 1 = 2 , entonces p OR q = 1. En otras palabras, p OR q se evalúa como TRUE, siempre y cuando uno o ambos de p o q son verdaderas. Esto se llama inclusivo o , a diferencia de exclusivo o .

Aunque no lo necesitaremos para esta lección, existe una operación para XOR exclusivo o escrito . El valor de verdad de p XOR q será 0 (falso) si ambos p y q son el mismo valor de verdad, y 1 (verdadero) si difieren en valores de verdad.

Próximos pasos

Fácil, ¿verdad? Pero, ¿qué pasa si necesitamos saber el valor de verdad de: NO (NO p Y q ) Y ( p O q )? Bueno, aquí es donde entra el álgebra . (Por cierto, ¿sabías que la palabra álgebra simplemente significa un método o un conjunto de reglas ?)

Las reglas del álgebra de Boole

Hablemos de las reglas, empezando por una sencilla, la regla del doble negativo .

Negativos dobles

¿Alguna vez escuchó a alguien decir: “No vi a nadie”? Entonces esa persona debe tener una excelente visión, porque su declaración es equivalente a Vi a todos . El doble negativo, NOT (NOT p ) es equivalente a p .

Más reglas

El cuadro a continuación puede parecer un poco abrumador al principio, pero cada regla se basa en alguna idea de sentido común de la lógica. Cada uno de ellos juega un papel en la reescritura y reducción de expresiones booleanas complicadas a algo más manejable.

Leyes del álgebra de Boole

Ejemplos

Usemos reglas apropiadas para simplificar: NO (NO p Y q ) Y ( p O q ).

Ejemplo: simplificar una expresión booleana

Diferentes palabras, mismas ideas

Puede ver algunas palabras elegantes que simplemente representan las tres operaciones mencionadas aquí. Y se llama conjunción . OR se llama disyunción . NO se llama negación . Por ejemplo, si se le pide que escriba la negación de El cielo es azul , entonces escribiría NO ( El cielo es azul ) o El cielo no es azul (¡tal vez es gris porque está lloviendo!).

Además, la Ley de De Morgan a veces se llama Teorema de De Morgan . Aquí no hay distinción entre Ley y Teorema ; ambas palabras significan un ‘enunciado o fórmula matemática válida’.

Resumen de la lección

Ok, entonces, ¿qué hemos aprendido aquí? Bueno, ahora podemos responder a Shakespeare cuando preguntó: ¿ Ser o no ser? La respuesta es , ya que p OR (NO p ) es equivalente a 1 por la regla inversa. (Ok, tal vez eso no sea exactamente lo que pretendía Shakespeare). Ahora tenemos las herramientas para simplificar cualquier expresión booleana complicada, paso a paso, usando las reglas, leyes y teoremas del álgebra booleana.

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