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Altitudes de triángulos rectángulos: aplicaciones

Publicado el 24 noviembre, 2020

Revisión de altitud

Si alguna vez ha estado en un avión, ha experimentado un tipo de altitud. Pero una altitud también es un término técnico para una parte de un triángulo. La altitud de un triángulo es una línea trazada desde un ángulo del triángulo hasta el final del triángulo, de modo que forma un ángulo recto con el lado opuesto y divide el triángulo grande en dos triángulos más pequeños. Cada triángulo tiene tres altitudes, una a partir de cada esquina.

Pero en esta lección, hablaremos sobre algunas cualidades específicas de la altitud extraída del ángulo recto de un triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo recto. Un ángulo recto es un ángulo de 90 grados, a menudo indicado por un pequeño recuadro en la esquina. Las altitudes de los ángulos rectos tienen algunas cualidades especiales, así que abroche el cinturón de seguridad firmemente alrededor de las caderas y echemos un vistazo.

Triángulos similares

En primer lugar, las altitudes separan el triángulo grande en dos triángulos más pequeños. Una propiedad especial de las altitudes en ángulo recto es que estos tres triángulos son triángulos similares , que tienen las mismas medidas de ángulo y longitudes de lado proporcionales. La prueba de esto es un poco complicada, así que para facilitar las cosas, etiquetaremos este triángulo con los puntos A a D y los ángulos E a J.

Comience con la definición de una altitud: intersecta el lado en ángulo recto. Entonces, tanto el ángulo G como el ángulo H deben ser de 90 grados. Puede ser tentador decir que J y E son iguales porque se ven algo iguales, pero una altitud no necesariamente divide el ángulo en dos partes iguales; podrían ser diferentes. ¡Así que no te dejes solo por la forma en que se ven en la imagen! Sabemos que suman 90 grados, pero no sabemos que son iguales.

¿Entonces que sabemos? Sabemos que todos los triángulos suman 180 grados. Dado que el ángulo G representa 90 de esos grados, E + F = 90. Ahora mira el gran triángulo; en el triángulo grande, los ángulos son I, J + E y F. Sabemos que J + E = 90, por lo que I + F debe dar cuenta de los otros 90 grados en el triángulo. Ahora tenemos:

E + F = 90

E = 90 – F

Yo + F = 90

Yo = 90 – F

Dado que E e I son iguales a 90 – F, los ángulos E e I deben ser iguales entre sí. Ahora tenemos dos ángulos iguales, entonces sabemos que F debe ser igual a J y que los triángulos deben ser similares. Los dos triángulos más pequeños son similares entre sí y también al triángulo grande.

Significado geometrico

Otra propiedad de la altitud de un ángulo recto en un triángulo rectángulo tiene que ver con la media geométrica. La media geométrica de dos números x e y es la raíz cuadrada de x * y . Si m representa la media geométrica de x e y , podemos decir, ya sea m = la raíz cuadrada de x * y o m ^ 2 = x * y .

Esto es relevante para los triángulos rectángulos porque la altitud de un ángulo recto en un triángulo rectángulo es la media geométrica de las dos partes de la hipotenusa. En la imagen, DB = la raíz cuadrada de (DC * DA) o (DB) ^ 2 = DC * DA. ¿Cómo funciona? Ya hemos demostrado que los triángulos CDB, BDA y CBA son todos similares; eso significa que sus lados correspondientes son proporcionales, entonces DB / DC = DA / DB = CB / BA.

Si DB / DC = DA / DB, podemos realizar una multiplicación cruzada para obtener DB ^ 2 = DC * DA, o DB = la raíz cuadrada de (DC * DA). Puedes usar estas relaciones para encontrar las longitudes de las partes faltantes en un triángulo. Por ejemplo, si conoce las longitudes de CD y DA, puede calcular la longitud de la altitud.

Resumen de la lección

En esta lección, aprendió sobre las altitudes dibujadas desde el ángulo recto hasta la hipotenusa de un triángulo rectángulo . La altitud divide el triángulo rectángulo en dos triángulos más pequeños que son similares entre sí y también similares al triángulo grande. Demostramos esto usando las medidas de los ángulos de los triángulos. La altitud también representa la media geométrica entre los dos segmentos de la hipotenusa. Demostramos esto usando las relaciones proporcionales entre los lados de los dos triángulos similares .

Descripción general de las altitudes del triángulo rectángulo

triángulos rectángulos

Condiciones Definiciones
Altitud La altitud de un triángulo es una línea trazada desde un ángulo del triángulo a lo largo del triángulo, de modo que forma un ángulo recto con el lado opuesto y divide el triángulo grande en dos triángulos más pequeños.
Triángulo rectángulo un triángulo con un ángulo recto
Triángulos similares tienen las mismas medidas de ángulos y longitudes laterales proporcionales
Significado geometrico La media geométrica de dos números x e y es la raíz cuadrada de x * y

Los resultados del aprendizaje

Aplique sus conocimientos sobre las altitudes de los triángulos rectángulos cuando sea el momento de:

  • Reconocer y encontrar la altitud de un triángulo.
  • Identifica los ángulos similares al encontrar la altitud.
  • Resolver para la media geométrica

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