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Ángulo medio: regla, fórmula y ejemplos

Publicado el 23 septiembre, 2020

Medios ángulos: una analogía de la escuela de vuelo

Digamos que decides empezar a volar. Hay dos partes en este esfuerzo: la escuela de tierra que cubre la teoría y las reglas, y la escuela de vuelo que usa esta información en un simulador y en una cabina real. Lo mismo podría decirse del aprendizaje de las matemáticas. Aprendemos fórmulas y reglas, luego practicamos revisando ejemplos para mostrar cómo se aplica la teoría.

En esta lección sobre medios ángulos , repasaremos las reglas , enumeraremos las fórmulas y luego practicaremos con muchos ejemplos .

Reglas para determinar la señal correcta

El problema con los signos surge porque la raíz cuadrada tiene dos posibles respuestas. Tanto el positivo como el negativo de la raíz son matemáticamente correctos. Esto no significa que ambas respuestas sean correctas para nuestros cálculos de medio ángulo. Significa que tenemos que decidir cuál de los dos signos usar.

Esta tarea no es tan difícil si dibujamos un diagrama. Solo hay cuatro casos posibles. Recorreremos cada uno de ellos.

Digamos que el ángulo en cuestión está entre 0 o y 90 o . Esta región se llama primer cuadrante . Dibuja un triángulo en este primer cuadrante. Rotula los lados como x , y y r . La hipotenusa r siempre es positiva. Piense en los valores numéricos del X eje x y la y eje x. En el primer cuadrante, x > 0 e y > 0. Mayor que 0 significa positivo . Menos de 0 significa negativo .


Reglas de signos del primer cuadrante
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Para este triángulo representativo, sin θ = y / r , cos θ = x / r y tan θ = y / x . En el primer cuadrante, tanto x como y son positivos. Por tanto, sin θ> 0, cos θ> 0 y tan θ> 0.

Pasemos al segundo cuadrante .

En el segundo cuadrante, los ángulos oscilan entre 90 o y 180 o .

Una vez más, dibuja un triángulo representativo en este cuadrante. Cuando etiquetamos el triángulo, notamos que x <0 e y > 0.

Por lo tanto, esperamos que los ángulos en el segundo cuadrante tengan sen θ> 0, cos θ <0 y tan θ <0. Estas conclusiones surgen al usar la definición de las funciones trigonométricas. Si dividimos dos cantidades que tienen el mismo signo, la respuesta será positiva. Si los signos son diferentes en nuestra división, la respuesta será negativa.

Las reglas de los signos del segundo cuadrante se resumen en el siguiente diagrama.


Reglas de signos del segundo cuadrante
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El tercer cuadrante tiene ángulos de 180 o a 270 o . El cuarto cuadrante tiene ángulos de 270 ° a 360 ° .

Estos cuadrantes y las reglas se muestran en las dos figuras siguientes.


Reglas de signos del tercer cuadrante
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Reglas de signos del cuarto cuadrante
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Listado de fórmulas de medio ángulo

Las fórmulas de medio ángulo para seno y coseno son las siguientes.

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Para estas fórmulas, debemos tener cuidado al elegir la raíz positiva o negativa.

Hay tres formas para la fórmula de la tangente de medio ángulo.

Una de estas formas tiene raíz cuadrada.

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Los otros dos no tienen raíz cuadrada.

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En los ejemplos que siguen, usaremos todas estas fórmulas. Se utilizarán ángulos de cada uno de los cuatro cuadrantes.

Usando las fórmulas de medio ángulo

Antes de comenzar con ejemplos, veamos un triángulo muy útil; el triángulo 30-60-90 .

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Observamos que el seno, el coseno y la tangente son todos fácilmente determinables a partir de este triángulo 30-60-90. Por ejemplo, sin 30 o = ½.

Empecemos por 240 o . Este ángulo está en el tercer cuadrante. Por tanto, esperamos que el seno y el coseno sean negativos. La tangente será positiva. Además, los lados opuestos y adyacentes para un ángulo de 240 ° comparten el mismo ángulo de 60 ° . Esto se ve más fácilmente en la siguiente figura.

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Así,

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Ejemplo 1. Utilice fórmulas de medio ángulo para hallar sen 120 o , cos 120 o y tan 120 o .

120 o está en el cuadrante 2. Usaremos la raíz positiva para el seno y la raíz negativa para el coseno.

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Ejemplo 2. Utilice fórmulas de medio ángulo para encontrar sen 240 o , cos 240 o y tan 240 o .

Necesitaremos el coseno de 480 o para este ejemplo. Note que 480 o es una rotación más allá de 360 o . Esto nos dice que una rotación de 480 o es lo mismo que una rotación de 480 o – 360 o = 120 o .

Por tanto, cos 480 o = cos 120 o = -1/2.

Este ángulo de 240 o está en el tercer cuadrante. Por tanto, el seno y el coseno son negativos. La tangente es positiva.

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Ejemplo 3. Use fórmulas de medio ángulo para hallar sen 60 o , cos 60 o y tan 60 o .

60 o está en el primer cuadrante. Por tanto, el seno, el coseno y la tangente son todos positivos.

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Ejemplo 4. Use fórmulas de medio ángulo para hallar sen 300 o , cos 300 o y tan 300 o .

Necesitaremos el coseno de 600 o para este ejemplo. Tenga en cuenta que 600 o – 360 o = 240 o . Por tanto, cos 600 o = cos 240 o = -1/2.

300 o está en el cuarto cuadrante. Por tanto, el seno es negativo, el coseno es positivo y la tangente es negativa.

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Resumen de la lección

Hemos examinado 5 fórmulas de medio ángulo . Tres de estas fórmulas tienen raíz cuadrada. Esto significa que debemos tener cuidado al elegir el signo correcto para la raíz. Este signo está determinado por reglas que se basan en el cuadrante en el que se encuentra nuestro ángulo. En esta lección, vimos 4 ejemplos que usaron las 5 fórmulas y los 4 cuadrantes.

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