Aplicación de factores de escala al perímetro, área y volumen de figuras similares

Problemas de escala

Cuando era niño, tenía todo tipo de figuras de acción: He-Man, Star Wars, Ghostbusters. Me gustaba jugar con ellos juntos, pero eso no siempre tenía sentido. Un conjunto de figuras de acción en particular, Thundercats, nunca encaja. Las figuras de acción de los Thundercats eran mucho más grandes que todas las demás figuras de acción. Por lo tanto, un Thundercat nunca podría pilotar una moto deslizadora de Star Wars. Y mi figura de Han Solo era demasiado pequeña para los vehículos de los Thundercats. Las escalas simplemente no eran las mismas. Este es un ejemplo de la importancia de los factores de escala.

¿Qué es un factor de escala?

Un factor de escala es simplemente un número que multiplica las dimensiones de una forma. Esto puede agrandar una forma. Las formas más grandes tendrán un factor de escala mayor que uno. Entonces, si el factor de escala es tres, entonces las dimensiones de la nueva forma serán tres veces mayores que las de la original.

Digamos que tienes una tienda de donas y quieres una dona gigante con glaseado de fresa encima de tu tienda. Puede usar un factor de escala de 25. Cada pulgada sabrosa de una dona normal sería de 25 pulgadas en el modelo. Entonces, una dona de 5 pulgadas tendría 125 pulgadas, o casi 10.5 pies de alto.

Un factor de escala también puede hacer que una forma sea más pequeña. Las formas más pequeñas tendrán un factor de escala de menos de uno. Probablemente hayas visto esto con los autos Matchbox, que a menudo son versiones reducidas de autos reales. Esto también funciona con casas de muñecas. Por ejemplo, un modelo de una casa puede tener un factor de escala de 1/50. Eso significa que 1 pulgada en el modelo es igual a 50 pulgadas en la casa real. Por lo tanto, una cómoda de 4 pies de alto tendría aproximadamente 1 pulgada de alto en el modelo.

Si el factor de escala es uno, entonces las dos formas son iguales o congruentes. El factor de escala del automóvil que se encuentra debajo del otro automóvil es uno. Eso no es muy interesante, por lo que normalmente no hablamos de factores de escala de uno.

Estos dos autos son congruentes.

Si le gustan las variables, la ecuación para un factor de escala se puede escribir como y = Cx , donde x es la dimensión original, y es la nueva dimensión y C es el factor de escala, o la cantidad por la que se multiplica el original. .

Ejemplos de perímetro

Hablemos de cómo los factores de escala influyen en las formas geométricas, comenzando por el perímetro.

Aquí hay un rectángulo:

Este rectángulo tiene un perímetro de 16.

Su ancho es 3 y su largo es 5. ¿Cuál es el perímetro? 3 + 3 + 5 + 5, o 16. Ahora, apliquemos un factor de escala de 4 para el nuevo rectángulo. Tendrá unas dimensiones 4 veces superiores a las del original. En lugar de un ancho de 3, será 3 x 4 o 12. Y, en lugar de una longitud de 5, será 5 x 4 o 20. Este nuevo rectángulo es similar al original, lo que significa que tiene la misma forma, pero no necesariamente del mismo tamaño.

El factor de escala es igual al cambio de perímetro.

¿Qué impacto tuvo esto en el perímetro? El nuevo perímetro es 12 + 12 + 20 + 20, o 64. ¿16 a 64? Eso es 4 veces el original. Entonces, el cambio de perímetro es igual al factor de escala.

Ejemplos de áreas

Las cosas son un poco diferentes con el área. Veamos esos mismos dos rectángulos:

Cuadrar el factor de escala conduce al cambio de área.

¿Cuál es el área del primero? El área de un rectángulo es largo por ancho, entonces es 5 x 3, que es 15. ¿Qué pasa con el segundo? 20 x 12, que es 240. ¿15 x 4 = 240? No. ¿Cuál es la relación entre 15 y 240? Si divide 240 entre 15, obtiene 16. ¿Y cuál fue nuestro factor de escala? 4. 16 es 4 ^ 2. Entonces, el cambio en el área es igual al factor de escala al cuadrado.

Veamos otro ejemplo. Aquí hay un triángulo con una base de 5 y una altura de 4:

Este triángulo tiene un área de 10.

El área de un triángulo es ½ veces la base por la altura. Entonces, el área de este triángulo es ½ x 5 x 4, que es 10. Hagamos un nuevo triángulo usando un factor de escala de 3. Este nuevo triángulo tiene una base de 15 y una altura de 12. Su área es ½ x 15 x 12 o 90.

Este triángulo tiene un área de 90.

Bien, recuerde que nuestro factor de escala fue 3. ¿Y 3 ^ 2? Eso es 9. Entonces, el cambio en el área debería ser 9 veces el original. ¿10 x 9 = 90? ¡Si! Entonces funciona.

Cuando trabaje con factores de escala, eleve al cuadrado el factor de escala para determinar el área de la nueva figura. Si lo piensa, tiene sentido por qué el área sería el factor de escala al cuadrado. El área involucra dos dimensiones multiplicadas juntas. Con el factor de escala, todo lo que realmente está haciendo es multiplicar el factor de escala por sí mismo.

Ejemplos de volumen

Luego, hay volumen. Al igual que ir de perímetro a área, pasar de área a volumen significa agregar una capa. En este caso, es una tercera dimensión. En lugar de elevar al cuadrado el factor de escala, ¿adivinen qué? ¡Lo vamos a cortar en cubos! Entonces, el cambio de volumen es igual al factor de escala al cubo. Cubrir un número es elevarlo a la tercera potencia. Entonces, si recuerdas que el volumen involucra tres dimensiones, puedes recordar calcular el factor de escala al cubo. Probemos esto.

Aquí hay un prisma rectangular:

El volumen de este prisma rectangular es de 24 pulgadas cúbicas.

Hagamos esto interesante. Digamos que es una caja de galletas. Mide 4 pulgadas por 2 pulgadas por 3 pulgadas. El volumen de un prisma rectangular será largo por ancho por alto. Entonces, su volumen es 4 x 2 x 3, o 24 pulgadas cúbicas. Eso no va a contener muchas galletas, incluso si son pequeñas. Entonces, ¡escalemos! Usemos un factor de escala de 3.

Aquí está nuestra nueva caja:

Esta es la caja de cookies escalada en tres.

Es de 12 por 6 por 9. El volumen de esta caja será de 12 x 6 x 9, que es 648 pulgadas cúbicas. Ahora esa caja contendrá muchas galletas. Solo necesitamos un poco de leche.

Oh, pero ¿qué pasa con el cambio de volumen? Dije que es el factor de escala al cubo. Pero, ¿qué es 3 al cubo? Es 27. ¿Y qué pasa si multiplicamos el volumen original, 24, por 27? Sí. Es 648.

Pero, ¿qué pasa con esa leche? Hagamos un ejemplo de volumen más. Aquí hay un vaso de leche del tamaño de un niño:

El volumen de este vaso de leche es de 12,6 pulgadas cúbicas.

El volumen de un cilindro es pi veces r ^ 2 veces h , donde r es el radio del círculo en la parte superior y h es la altura. Este vaso tiene un radio de 1 pulgada y una altura de 4 pulgadas. Entonces, su volumen es pi x 1 ^ 2 x 4, o aproximadamente 12.6 pulgadas cúbicas.

Tenemos una caja enorme de galletas, así que necesitamos un vaso de leche más grande. ¿Qué factor de escala debemos usar? Dado que los factores de escala están al cubo con el volumen, recuerde que incluso un pequeño cambio tendrá ramificaciones significativas.

Probemos con un factor de escala de 2. Eso hará que nuestro radio sea de 2 pulgadas y nuestra altura de 8 pulgadas. Eso no parece irrazonable, ¿verdad? Ahora, no necesitamos hacer la fórmula del volumen. Podemos simplemente reducir al cubo el factor de escala. 2 ^ 3 = 8. Si nuestro volumen original era 12,6, entonces nuestro nuevo volumen es 12,6 x 8, o 101 pulgadas cúbicas. Para aquellos de ustedes que no piensan en su leche en pulgadas cúbicas, eso es aproximadamente 1,75 cuartos de leche. ¡Santo cielo!

Resumen de la lección

En resumen, un factor de escala es simplemente un número que multiplica las dimensiones de una forma. Es una forma de describir la relación entre formas similares , ya sea una casa y una réplica del tamaño de una casa de muñecas o un par de triángulos.

El perímetro de un objeto escalado será igual al factor de escala. Si el factor de escala es tres, entonces el perímetro del nuevo objeto será tres veces el perímetro original. El área de un objeto escalado será igual al factor de escala al cuadrado. Nuevamente, si el factor de escala es tres, el área del nuevo objeto será nueve veces, o tres al cuadrado, el área del objeto original. Finalmente, el volumen de un objeto escalado será igual al factor de escala al cubo. Entonces, si el factor de escala es tres, el volumen del nuevo objeto será tres al cubo, o 27 veces, el volumen del objeto original.

Resultado de aprendizaje

Después de ver esta lección, podrá:

• Definir factor de escala y formas similares
• Explica cómo el factor de escala se relaciona con el perímetro, el área y el volumen.
• Trabajar problemas usando factores de escala