Aplicación de la independencia y la probabilidad condicional a situaciones de la vida real

Probabilidades en escenarios de la vida real

Andrew se está preparando para una conferencia de negocios. Su avión sale en unas horas, por lo que tendrá que darse prisa. Agarra una corbata de su armario, dos calcetines de su tocador y dos zapatos de debajo de la cama. Andrew comienza a vestirse y se da cuenta de que hay algo mal en este escenario: algunos de los elementos que eligió no combinan con su traje. Andrew puede comprender más sobre este escenario si aprende sobre probabilidad condicional y probabilidad independiente.

En esta lección, aprenderá sobre el dilema de Andrew y cómo se aplica a las probabilidades condicionales e independientes. También aprenderá a encontrar probabilidades condicionales e independientes.

Definición de probabilidades condicionales e independientes

Cuando Andrew saca una corbata de su armario sin mirar, este es un ejemplo de probabilidad independiente. En este caso, solo tiene que considerar un evento. La probabilidad independiente es cuando la probabilidad de un evento no se ve afectada por un evento anterior.

Andrew tiene 12 corbatas en su armario. De los 12, Andrew tiene cuatro corbatas que combinan con su traje. Andrew solo está sacando una corbata del armario. Ese es un evento que no tiene relación con ninguno de los otros eventos, que es lo que lo convierte en una probabilidad independiente.

Andrew tiene muchos calcetines sueltos en el cajón de su tocador. Tiene 15 calcetines negros con rayas pequeñas y 15 calcetines negros lisos. Andrew tiene que sacar un calcetín; luego, el segundo calcetín que saca Andrew debe coincidir con el primer calcetín. Que Andrew tenga dos calcetines a juego depende de qué calcetín saca primero y qué calcetín saca en segundo lugar. En este caso, tiene que considerar dos eventos. Este es un ejemplo de probabilidad condicional , que es la probabilidad de que ocurra un segundo evento dado que ya ocurrió un primer evento. Este caso particular de probabilidad condicional trata con eventos dependientes , que es cuando un evento influye en el resultado de otro evento en un escenario de probabilidad.

Andrew tiene seis pares de tenis, dos pares de sandalias y un par de zapatos de vestir. Cuando Andrew saca una caja de zapatos de debajo de su cama, este es un evento único. Por lo tanto, la probabilidad de que Andrew saque los zapatos de vestir de debajo de su cama es un evento independiente. Sin embargo, si queremos saber la probabilidad de que Andrew saque un par de zapatos de vestir de debajo de su cama dado que ya sacó una corbata que hace juego con su traje de su armario, este sería un caso de probabilidad condicional con eventos independientes.

Hallar probabilidades condicionales e independientes

Podemos encontrar la probabilidad de que Andrew obtenga el empate correcto al calcular el número de resultados deseados dividido por el número total de resultados posibles. Nuevamente, este es un caso de probabilidad independiente. Podemos usar esta fórmula:

P (A) = A / T

En esta fórmula, P (A) representa la probabilidad del evento A, que en este caso es la corbata que coincide con el palo. A representa el número de empates que coinciden con el palo de Andrew y T representa el número total de empates. A menudo verá P (A) y A en problemas de probabilidad. No verá T en una fórmula con mucha frecuencia, y solo la estamos usando hoy como marcador de posición.

Recuerde, Andrew tiene cuatro corbatas que combinan con su traje y un total de 12 corbatas en su armario. Por lo tanto, los cuatro empates que coinciden con el palo de Andrew son los resultados deseados, y los 12 empates son los resultados posibles totales. Nuestra fórmula se verá así:

P (A) = 4/12

Para simplificar, Andrew tiene una probabilidad de 1 en 3 de obtener una corbata que combine con su traje.

Ahora necesitamos encontrar la probabilidad de que Andrew saque dos calcetines iguales de su cajón. La fórmula para la probabilidad condicional con eventos dependientes es ligeramente diferente a la probabilidad independiente.

La barra entre A y B significa “dado”. Por lo tanto, el comienzo de este problema dice ‘la probabilidad de B dada A.’ En otras palabras, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el evento B si A ya ocurrió?

Analicemos esto paso a paso. Primero, ¿cuál es el número total de calcetines en el cajón? Derecho; Andrew tiene 30 calcetines en total en su cajón. Eso significa que hay 30 resultados posibles en total. Ahora, Andrew tiene un traje negro, por lo que quiere que sus calcetines combinen con su traje. ¿Cuántos calcetines negros hay en el cajón de Andrew? 15. Correcto; hay 15 calcetines negros. La primera parte de nuestra fórmula se verá como la fórmula de probabilidad independiente:

15/30 P (A)

Pero, ¿qué pasa con el segundo calcetín? Recuerde, el segundo evento depende de que el primer evento suceda realmente. Entonces, digamos que Andrew sacó un calcetín negro de su cajón. Ahora, ¿cuántos calcetines quedan en el cajón? Quedan 29 calcetines en el cajón porque Andrew ya ha sacado uno. Suponemos que está sacando un calcetín negro; así que ahora, ¿cuántos calcetines negros quedan en el cajón? En el cajón quedan 14 calcetines negros. Por tanto, la probabilidad condicional de los eventos dependientes sería:

14/29 o P (B | A)

Ahora que sabe cómo encontrar la probabilidad condicional con eventos dependientes, veamos la probabilidad condicional con eventos independientes. Andrew ahora debe sacar sus zapatos de debajo de la cama. Andrew tiene seis pares de tenis, dos pares de sandalias y un par de zapatos de vestir. La probabilidad de que Andrew saque sus zapatos de vestir de debajo de la cama es una de cada nueve posibilidades. Eso es porque hay un par de zapatos de vestir y nueve pares de zapatos en total. Podemos anotar eso así:

1/9 = P (B)

Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que Andrew pueda sacar sus zapatos de vestir de debajo de la cama dado que ya ha sacado una corbata a juego del armario? Primero, debes hacerte una pregunta: ¿el primer evento influye en el segundo evento? Si no, entonces estamos trabajando con eventos independientes en esta probabilidad condicional. Aunque Andrew puede sentirse más seguro después de sacar una corbata a juego de su armario, su corbata no influye en lo que sucederá una vez que saque sus zapatos de debajo de la cama.

Cuando observa eventos independientes y probabilidad condicional, la probabilidad condicional de P (B | A) es lo mismo que la probabilidad de P (B). Esto se debe a que el evento B es un evento independiente. Recuerde que la definición de eventos independientes es cuando la probabilidad de un evento no se ve afectada por un evento anterior. Por lo tanto, aunque este es un problema de probabilidad condicional, la probabilidad del evento B no cambia por la condición.

Entonces, podemos decir que la probabilidad de que Andrew saque sus zapatos de vestir de debajo de la cama dado que ya sacó una corbata a juego del armario es una probabilidad de 1/9, exactamente la misma que la probabilidad del evento independiente B.

Encontrar un evento dado

A veces se le dará la intersección de dos eventos y la probabilidad del evento A, pero no la probabilidad del evento B dado el evento A. Esto probablemente suene un poco confuso. Digamos que Andrew ha terminado de prepararse y se dirige al aeropuerto. ¿Cuál es la probabilidad de que Andrew llegue al aeropuerto y pase el control de seguridad de manera oportuna? Obviamente, no tenemos datos estadísticos sólidos sobre este escenario, pero digamos que sabíamos que Andrew tenía un 50% de posibilidades de llegar al aeropuerto a tiempo y un 15% de posibilidades de llegar al aeropuerto y pasar por seguridad a tiempo. En este caso, conocemos las posibilidades del evento A, 50%, y conocemos las posibilidades de probabilidad de A y B, 15%, pero ¿cuáles son las posibilidades de Andrew de pasar la seguridad?

Para este escenario en particular, necesitamos usar la siguiente ecuación:

P (B | A) = P (A y B) / P (A)

La P (A y B) se conoce como la intersección de dos eventos. Por lo tanto, nuestra ecuación se vería así:

0,15 / 0,50 = 0,3

Andrew tiene un 30% de posibilidades de pasar por seguridad de manera oportuna. Los trámites en la puerta de seguridad no tienen nada que ver con la hora a la que Andrew llega al aeropuerto. Por tanto, estos dos eventos son independientes. P (B | A) = P (B).

Resumen de la lección

Cuando realiza un experimento o recopila datos en general, es probable que busque una probabilidad independiente. La probabilidad independiente es cuando la probabilidad de un evento no se ve afectada por un evento anterior. Podemos usar esta fórmula:

P (A) = A / T

En este caso, A son todos los resultados deseados, como todos los empates que coinciden con el palo de Andrew, y T son todos los resultados posibles, como todos los empates en el armario de Andrew.

También te encontrarás con la probabilidad condicional. La probabilidad condicional es la probabilidad de un segundo evento dado que ya ha ocurrido un primer evento. Utilizará la fórmula P (B | A). Esto es preguntar ‘¿Cuál es la probabilidad de que ocurra el evento B si el evento A ya ocurrió?’ Encontrarás probabilidades condicionales de dos formas distintas: eventos dependientes y eventos independientes. Las probabilidades condicionales con eventos dependientes son cuando un evento influye en el resultado de otro evento en un escenario de probabilidad.

Lo importante que hay que recordar para la probabilidad condicional con eventos independientes es que cuando observa eventos independientes y probabilidad condicional, la probabilidad condicional de P (B | A) es lo mismo que la probabilidad de P (B). Cuando se trata de eventos independientes, la probabilidad del evento B no cambia por la condición.

A veces se le dará la intersección de dos eventos y la probabilidad del evento A, pero no la probabilidad del evento B dado el evento A. En este caso, deberá usar la siguiente fórmula:

P (B | A) = P (A y B) / P (A)

Los resultados del aprendizaje

Después de completar esta lección, debería poder:

• Definir los tipos de probabilidad
• Describe las fórmulas para encontrar probabilidades de eventos.