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Aplicación de las reglas de diferenciación para calcular derivadas

Publicado el 1 octubre, 2020

Revisión de derivados comunes


Algunos de los derivados más utilizados
Derivados comunes

Dediquemos unos minutos a revisar los derivados más utilizados. En primer lugar, tenemos x ^ n ésima potencia. La derivada de x ^ n- ésima potencia es n veces x ^ ( n -1). Dos derivadas similares son las derivadas ( d / dx ) de x , que es solo 1, y d / dx de cualquier constante, que es solo 0. La derivada de la exponencial e ^ x es e ^ x . Es una de las derivadas más fantásticas de todos los tiempos porque no importa cuántas veces se diferencie, obtendrá lo mismo: la derivada de e^ x es e ^ x . La derivada del logaritmo natural de x es 1 / x . Otra clase de derivadas de uso común son las funciones trigonométricas. La derivada de sin ( x ) es cos ( x ), la derivada de cos ( x ) es -sin ( x ) y la derivada de la tangente de x es la secante al cuadrado de x (sec ^ 2 ( x )).

Revisión de las reglas de los derivados

Si bien debes memorizar estas seis derivadas especialmente, recuerda siempre la lección más importante sobre las derivadas: ¡la derivada es la pendiente de la tangente a tu función! Una vez que obtenga esos conceptos básicos, hay tres reglas que debe recordar:

Primero está la regla del producto . Aquí digamos que f (x) es el producto de otras dos funciones que dependen de x . Entonces aquí tenemos u y v , que son funciones de x . La derivada de f (x) con respecto ax , o f` (x) , es uv` + vu` , o la primera por la derivada de la segunda, más la segunda por la derivada de la primera, donde nuestra primera función es u y nuestra segunda función es v .

La segunda regla a recordar es la regla del cociente . Entonces, nuevamente, usemos u y v . Si f (x) = u / v , entonces f` (x) = ( vu`uv` ) / v ^ 2. Podemos recordar esto usando nuestra pequeña rima: Low d hi ​​minus hi d low, ¡todo el cuadrado de lo que está debajo!


Funciones trigonométricas de uso común
Funciones de disparo

La última regla a recordar es la regla de la cadena . Utilizará la regla de la cadena cada vez que vea paréntesis o cuando tenga funciones compuestas, como f (x) = g (h (x)) . En este caso, f` (x) = g` (h (x)) * h` (x).

Primer ejemplo de resolución de derivadas

Usemos estas reglas en un ejemplo. Digamos f (x) = sin ( x ) / x ^ 2. Bueno, dado que tengo una función dividida por otra función, voy a usar la regla del cociente, que dice Low d hi ​​minus hi d low, ¡en todo el cuadrado de lo que está debajo! Aquí, mi función baja es x ^ 2 y mi función alta es sin ( x ). Entonces usemos esto. f ‘(x) es igual a bajo ( x ^ 2), d / dx de alto (sin ( x )), menos alto (sin ( x )), d / dx bajo ( x ^ 2), todo dividido por lo que está debajo, al cuadrado. Entonces ( x ^ 2) ^ 2. Bueno, yo se como encontrard / dx de sin ( x ), esa es solo una de las reglas que conocemos; la derivada de sin ( x ) es cos ( x ). Para la derivada de x ^ 2, usaré mis reglas de potencia. d / dx de x ^ n es nx ^ ( n – 1). Entonces, la derivada de x ^ 2 es 2 x ^ (2 – 1). Bueno, 2 – 1 es 1, entonces esto es 2 x ^ 1, o solo 2 x . Entonces puedo conectar eso, y f` (x) = ( x ^ 2 (cos ( x )) – sin ( x ) (2 x )) / ( x ^ 2) (x ^ 2).

Simplifiquemos. Muevamos este 2 x al lado izquierdo de sin ( x ), y multipliquemos x ^ 2 * x ^ 2 para obtener x ^ 4. Bueno, a partir de aquí, puedes dejarlo, pero hay una x en cada término. Entonces , factoricemos una x de la parte superior para obtener x ( x cos ( x ) – 2sin ( x )). Cancelemos esta x con una de estas cuatro x s que tenemos en la parte inferior. Con todo eso, encuentro que la derivada de f (x) es ( x cos ( x ) – 2sin ( x)) / x ^ 3.

Segundo ejemplo

Hagamos otro ejemplo. Digamos esta vez que f (x) = e ^ x ^ 2. Como tengo un exponencial aquí, he implícito paréntesis. Entonces esto es como decir e ^ ( x ^ 2). Como veo paréntesis, voy a pensar en la regla de la cadena. La regla de la cadena dice que primero voy a encontrar la derivada de esta función externa, e al algo. En este caso, el algo es x ^ 2. Luego voy a encontrar la derivada del interior, que es este x ^ 2. Entonces, si escribo esto como g (h (x)) es e ^ ( x ^ 2), entonces mi h (x) , mi función interna, es x^ 2. La derivada de g con respecto a mi h (x) aquí es e ^ ( x ^ 2). La derivada de h (x) es 2 x .


Encontrar la derivada en el ejemplo # 1
Ejemplo 1 de la regla del cociente

Enchufe eso. Como estoy usando la regla de la cadena, mi derivada de e ^ ( x ^ 2) es e ^ ( x ^ 2) * la derivada de x ^ 2, que es solo 2 x . Entonces f` (x) = 2 xe ^ ( x ^ 2)

Tercer ejemplo

Hagamos otro ejemplo de regla en cadena. Digamos que tenemos la función f (x) = (cos ( x )) ^ 3. Normalmente escribiremos esto como cos ^ 3 ( x ). Para encontrar la derivada, f` (x) , usaremos la regla de la cadena donde nuestra función externa es algo al cubo. En este caso, ese algo es cos ( x ). Nuestra función exterior es la del cubo. Entonces, la derivada (vamos a usar nuestra regla de potencia aquí, que dice que si f (x) = x ^ n , entonces f` (x) = nx ^ ( n -1). Bueno, aquí, n es 3, entonces nuestra derivada es 3 veces nuestra xaquí, que es sólo paréntesis, al 3 – 1, o 2. Lo que está dentro del paréntesis es nuestra función, h , que es cos ( x ).

Sustituyamos eso. F` (x) = 3 (cos ( x )) ^ 2 veces la derivada de la función interior, cos ( x ). Bueno, sé que la derivada de cos ( x ) es -sin ( x ), por lo que puedo conectar eso y simplificar esta ecuación para obtener f` (x) = -3 (sin ( x ) cos ^ 2 ( x ).

Cuarto ejemplo

Hagamos un ejemplo más. Digamos que f (x) = x ^ 2 veces el logaritmo natural (ln) de x . Bueno, en este caso, x ^ 2 es como una función de x y el logaritmo natural de x es otra, así que sé que debería usar la regla del producto. La regla del producto dice que si usted está buscando la derivada de u veces v que son las dos funciones de x , la derivada es uv` + vu` , que es la primera por la derivada de la segunda, además de la segunda por la derivada del primero. En nuestro caso, el primero es x ^ 2 y el segundo es ln ( x). Así que conectemos nuestras funciones a esta regla. El primero, x ^ 2, multiplicado por la derivada ( d / dx ) del segundo, ln ( x ), más el segundo, ln ( x ), multiplicado por el derivado del primero, d / dx (x ^ 2) . Voy a usar mis reglas para que la derivada de ln ( x ) sea 1 / x , y la derivada de x ^ n sea nx ^ ( n -1) y encuentre que x ^ 2 d / dx (ln ( x ) ) es x ^ 2 (1 / x )). Mi segundo término que dijimos fue ln ( x ) d / dx (x ^ 2); Consigo ln ( x) 2 x .


La regla del producto se usa en el ejemplo # 4
Ejemplo de regla de producto 4

Simplifiquemos. Eliminaremos esta x y una de estas 2 x s, y pongamos esta 2 x en el lado izquierdo de ln ( x ). Entonces f`x = x + 2 xln ( x ). Puede dejarlo así, pero en general, querrá simplificar esto un poco más factorizando una x . Hay una x en ambos términos, así que voy a dividir ambos términos por x y ponerlo en el exterior, por lo que tengo x (1 + 2ln ( x )).

Resumen de la lección

Revisemos. Hay algunas fórmulas que debe recordar para calcular las derivadas. Debes saber cuál es la derivada de una constante, de una potencia como x ^ n , de cualquier tipo de exponencial como e ^ x , o logaritmo como el logaritmo natural de x , y debes conocer algunas de las derivadas trigonométricas comunes, como como sin ( x ), cos ( x ) y tan ( x ). Una vez que obtenga esas fórmulas, siempre debe recordar las tres reglas de derivadas más importantes. Una es la regla del producto , la segunda es la regla del cociente y la tercera es la regla de la cadena .

Pero lo más importante que puede recordar acerca de las derivadas, que siempre lo ayudará cuando esté pensando en las derivadas, es que la derivada es una tasa de cambio. Entonces, la derivada es la pendiente de la tangente a tu función.

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