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Centroide: definición, teorema y fórmula

Publicado el 23 septiembre, 2020

Definición del centroide

El centroide de un triángulo es el punto donde se cruzan las tres medianas del triángulo. Las medianas son los segmentos que conectan un vértice con el punto medio del lado opuesto. En esta imagen, el punto G es el centroide del triángulo ABC.

Para ubicar el centroide de un triángulo, es más fácil dibujar las tres medianas y buscar su punto de intersección. Para dibujar la mediana de un triángulo, primero localice el punto medio de un lado del triángulo. Dibuja un segmento de línea que conecte este punto con el vértice opuesto. Aquí se muestra un triángulo con una mediana dibujada:

Repite este proceso para los otros dos lados del triángulo. Una vez que haya dibujado las tres medianas, ubique el punto donde las tres se cruzan. Este punto es el centroide.

Para un triángulo hecho de un material uniforme, el centroide es el centro de gravedad. Imagine que un artista diseñó una escultura en la que se equilibraban múltiples triángulos de metal en los extremos de piezas de alambre. Para que los triángulos estén perfectamente equilibrados, los cables tendrían que estar conectados en el centro de gravedad, o centroide, de cada triángulo, como en el móvil que se muestra a continuación.

Propiedades del centroide

Entonces, ¿cuáles son algunas propiedades de un centroide?

El centroide siempre se encuentra dentro del triángulo. Esto es cierto si el triángulo es agudo, recto u obtuso. En esta imagen, puede ver que el centroide está dentro de cada uno de los triángulos, aunque todos tienen diferentes medidas de ángulos.

Otra propiedad importante del centroide es que se encuentra a 2/3 de la distancia desde el vértice hasta el punto medio del lado opuesto. Otra forma de decir esto es que el centroide divide la mediana en una proporción de 2: 1. La distancia desde el centroide al vértice es dos veces más larga que la distancia desde el centroide al punto medio del lado opuesto al vértice.

Puede usar la distancia desde el centroide hasta el vértice de un triángulo para encontrar la longitud de todo el segmento mediano. También puede usar esta propiedad para ubicar el centroide en un triángulo cuando solo puede dibujar una mediana.

Entonces, en esta imagen, si le dicen que la longitud del segmento CF es 12 y que CF es una mediana del triángulo, ¿dónde estaría ubicado el centroide, G? Podemos usar la regla 2/3 para determinar qué tan lejos del vértice C estará el centroide. Podemos usar una ecuación simple para encontrar la respuesta:

El centroide estará a 8 unidades del vértice C, a lo largo del segmento CF.

Un paisajista podría usar esta misma propiedad si crea un patio en un lote de forma triangular. Quiere poner una escultura en medio del patio. Como puede verse en esta imagen, los tres caminos que atraviesan el patio van desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto. La estatua se colocará en el centroide del triángulo. Al usar las propiedades del centroide, el diseñador del paisaje puede determinar la distancia desde cada vértice del triángulo a la estatua.

Problemas al usar el centroide

En el aula de matemáticas, casi todos los problemas que usan el centroide también involucrarán una o más medianas en el triángulo. Haremos algunos ejemplos usando esta imagen como referencia:

Pregunta: Si el segmento CG tiene una longitud de 6 unidades y G es el centroide del triángulo, ¿cuánto mide el segmento CF?

Solución: Dado que CG es el segmento que une el vértice al centroide, es 2/3 de la longitud total de CF. Dividir por 2/3 nos dará la longitud del segmento completo. Podemos escribir una ecuación de álgebra y resolverla.

CF tiene 9 unidades de largo.

Pregunta: Si el segmento AD tiene una longitud de 18 unidades y G es el centroide del triángulo, ¿cuánto mide el segmento DG?

Solución: dado que G es el centroide, AD debe ser una mediana. El centroide está a 2/3 de la distancia a lo largo de la mediana desde el vértice, por lo que está a 1/3 de la distancia desde el punto D, el punto medio del lado opuesto. Nuevamente, podemos escribir y resolver la ecuación.

Entonces, el segmento DG tiene 6 unidades de largo.

Pregunta: Si el segmento EG tiene una longitud de 4 unidades y los segmentos AD, BE y CF son todos medianas, ¿cuánto mide el segmento BG?

Solución: En este problema, se nos dice la distancia desde un punto medio al centroide. En este problema, buscamos la distancia desde el centroide al vértice. Como se señaló, el centroide divide la mediana en una proporción de 2: 1. Esto significa que el segmento BG tiene el doble de longitud que el segmento EG.

El segmento BG tiene 8 unidades de largo.

Aunque cada problema era ligeramente diferente, todos tenían en común una mención de la mediana o el centroide, y se nos pidió que encontráramos las longitudes de la mediana completa o de una parte de la mediana. ¡Tenga en cuenta que estos son los mismos tipos de cálculos que el artista y el arquitecto paisajista tendrían que hacer para ubicar con éxito el centroide en cada uno de los triángulos con los que trabajan!

Resumen de la lección

El centroide es el punto donde se cruzan las tres medianas del triángulo. Tiene las siguientes propiedades:

El centroide siempre se encuentra en el interior del triángulo. El centroide está ubicado a 2/3 de la distancia desde el vértice a lo largo del segmento que conecta el vértice con el punto medio del lado opuesto. El centroide está ubicado a 1/3 de la distancia desde el punto medio de un lado a lo largo del segmento que conecta el punto medio con el vértice opuesto. Para un triángulo hecho de un material uniforme, el centroide es el centro de gravedad.

Lección de un vistazo

El punto en el que se cruzan las tres medianas de un triángulo se conoce como centroide. Hay varias propiedades de un centroide. Siempre está ubicado en el interior del triángulo y es el centro de gravedad siempre que el triángulo esté hecho de un material uniforme.


Casi todos los problemas que usan el centroide también involucrarán una o más medianas en el triángulo.
centroide

Los resultados del aprendizaje

Tan pronto como domine esta lección, asegúrese de poder:

  • Definir centroide
  • Recordar y explicar las propiedades de un centroide.
  • Calcule la longitud de los segmentos con el uso de un centroide

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