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Clasificación de sistemas lineales en matemáticas

Publicado el 1 octubre, 2020

Un sistema lineal

A medida que trabaje con más y más sistemas lineales, verá que algunos de ellos no tienen soluciones, algunos tienen una solución, algunos tienen más de una solución y otros tienen un número infinito de soluciones. En matemáticas, tenemos clasificaciones para sistemas lineales que nos dicen cuántas soluciones tiene nuestro sistema lineal. Recuerde que un sistema lineal es un sistema con más de una ecuación lineal. Las ecuaciones lineales son aquellas con variables que no tienen exponentes. Podemos tener ecuaciones lineales bidimensionales y podemos tener ecuaciones lineales tridimensionales. Un sistema lineal bidimensional consta de dos ecuaciones en dos variables. Un sistema lineal tridimensional consta de tres ecuaciones en tres variables.

sistemas lineales

Echemos un vistazo a las diversas clasificaciones de sistemas lineales. Conocer estas clasificaciones puede ayudarlo a determinar si ha encontrado todas las respuestas o no.

Inconsistente

Un sistema lineal es inconsistente si las líneas son paralelas y, por lo tanto, no tiene solución. Si las ecuaciones están escritas en forma pendiente-intersección, verá que tienen la misma pendiente, pero la intersección es diferente. Cuando resuelva este tipo de sistema lineal, obtendrá una ecuación que no tiene sentido, como 0 = 1. Ve dos números que sabe que no son iguales entre sí. Por ejemplo, resolver este sistema lineal te da una ecuación sin sentido al final.

sistemas lineales

Al reescribir las ecuaciones en forma pendiente-intersección, obtienes y = -x + 8 e y = -x + 6. Ves que tus pendientes son las mismas, pero tus intersecciones son diferentes. También obtienes una respuesta sin sentido al resolver. 8 obviamente no es igual a 6.

Independiente

Si reescribe las ecuaciones en forma de intersección de pendiente y obtiene dos ecuaciones diferentes con dos pendientes diferentes, entonces tiene un sistema lineal independiente . Este tipo de sistema lineal tiene una solución. Las dos líneas se cruzan en un solo punto. Tu x será igual a un número y tu y será igual a un número. Cuando se escriben en forma pendiente-intersección, las ecuaciones tendrán diferentes pendientes. Este sistema lineal es un ejemplo de uno independiente.

sistemas lineales

Si reescribe las ecuaciones de este sistema en forma pendiente-intersección, obtiene y = -x + 8 e y = 2 x + 2. Como puede ver, obtiene dos ecuaciones diferentes con dos pendientes diferentes. Y después de resolver este sistema, obtienes una respuesta que consta de un número x y un número y . En este caso, la respuesta es x = 2 e y = 6 o el punto (2, 6).

Consistente

Si su sistema lineal tiene al menos una solución, también se dice que es consistente . Entonces, un sistema lineal independiente también es un sistema consistente porque tiene una solución. Un sistema inconsistente no es consistente porque no tiene soluciones.

Dependiente

El sistema dependiente también es un sistema consistente porque tiene más de una solución. De hecho, tiene un número infinito de soluciones. Esto se debe a que todas las ecuaciones de este sistema son la misma línea. Cuando se escriben en forma pendiente-intersección, las ecuaciones tendrán la misma pendiente y la misma intersección. Cuando resuelva este tipo de sistema, obtendrá una identidad como 0 = 0 o 1 = 1. Este sistema lineal es un sistema dependiente.

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Reescribiendo las ecuaciones en forma pendiente-intersección, obtienes y = 2 x + 3 e y = 2 x + 3. Hmm. Tienes dos ecuaciones cuyas pendientes e intersecciones son iguales. De hecho, puede detenerse allí mismo, ya que esto solo es suficiente para decirle que está viendo un sistema con líneas idénticas y, por lo tanto, es un sistema dependiente con un número infinito de soluciones.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido. Un sistema lineal es un sistema con más de una ecuación lineal. A continuación, se muestra un resumen de los tipos de sistemas lineales que se analizan en esta lección.

Tipo Soluciones Líneas Ecuaciones de pendiente-intersección
Inconsistente 0 Lineas paralelas Misma pendiente, diferentes intersecciones
Independiente 1 Líneas secantes Pendiente diferente
Consistente 1 o más Líneas secantes Pendiente diferente
Dependiente Infinito Misma línea Misma pendiente, misma intersección

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