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Combinaciones matemáticas: problemas de fórmula y ejemplo

Publicado el 22 septiembre, 2020

Temporada de baloncesto y combinaciones

Los Jackson Wildcats juegan baloncesto en un distrito urbano altamente competitivo. Hay ocho equipos en el distrito y todos juegan entre sí una vez durante la temporada. El entrenador de los Wildcats quiere saber cuántos partidos se jugarán en el distrito esta temporada. Para calcular esta cantidad, necesitará usar una combinación.

Combinaciones

Una combinación es una disposición de objetos donde el orden no importa. El entrenador sabe que hay ocho equipos, pero no importa el orden en que se enfrenten entre sí. Una forma en que el entrenador podría calcular la cantidad de juegos es enumerar cada equipo y los equipos que jugarían. El entrenador se dio cuenta, sin embargo, de que había algunos juegos que se repetirían al escribirlos. Entonces, investigó y encontró una fórmula para calcular el número de combinaciones. La fórmula para una combinación es nCr = n! / (R! (Nr)!) , Donde n representa el número de elementos y r representa el número de elementos que se eligen a la vez.

Factorial

Para calcular una combinación, debes saber cómo calcular un factorial. Un factorial es el producto de todos los enteros positivos iguales y menores que tu número. Un factorial se escribe como el número seguido de un signo de exclamación. Por ejemplo, para escribir el factorial de 6, ¡escribirías 6! . Para calcular el factorial de 6, multiplicaría todos los números enteros positivos iguales ay menores que 6.

6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

Al multiplicar estos números, encontramos que ¡6! = 720. Veamos otro ejemplo de cómo escribiríamos y resolveríamos el factorial de 11. ¡El factorial de 11 se escribiría como 11! . Calcular:

11! = 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 39,916,800

Fórmula combinada

El entrenador de los Wildcats ahora sabe que tiene que usar la ecuación nCr = n! / (R! (Nr)!) , Donde n representa el número de elementos y r representa el número de elementos que se eligen a la vez. Usando esta ecuación, debe seleccionar dos equipos para cada juego de los ocho equipos del distrito. Entonces, la variable n sería igual a 8 y la variable r sería igual a 2. La ecuación se vería entonces como 8 C 2 = 8! / 2! (8-2) !.

Para resolver esta ecuación, primero necesitaríamos realizar (8-2) entre paréntesis, lo que sería igual a (8! / (2! X 6!). A continuación, expandiríamos 8 !, 2! Y 6 !. 8 ! equivaldría a 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1, más de 2 !, que es 2 x 1 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1. Al multiplicar 8! en la parte superior, es igual a 40,320, y 2! x 6! en la parte inferior es igual a 1,440. Finalmente, dividiríamos 40,320 entre 1,440, lo que equivaldría a 28. El entrenador de los Wildcats ahora sabe que hay 28 juegos que se jugarán en su distrito esta temporada.

Ejemplo

Con una temporada tan dura por delante, el entrenador de los Wildcats sabe que su equipo debe tener mucha práctica. Decidió que el equipo jugaría partidos de tres contra tres para mejorar sus habilidades. Hay 12 jugadores en el equipo, y tres de ellos serán elegidos para cada equipo. El entrenador ahora necesita saber cuántas combinaciones de equipos podría crear. Para usar las ecuaciones, la variable n sería igual a 12 y la variable r sería igual a 3.

El entrenador debe usar la ecuación nCr = n! / R! (Nr)! . Entonces, el entrenador deberá sustituir 12 pulgadas por n y 3 pulgadas por r . Luego, necesitará restar 12-3 = 9. Entonces, ahora tiene 12! / (3! X 9!).

Ahora, ampliemos los factoriales. 12! = 12 x 11 x 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 y 9! x 3! = 3 x 2 x 1 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1.

La forma más sencilla de calcular la combinación es cancelar los términos comunes. Dado que 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 aparece tanto en la parte superior como en la inferior de la ecuación, esos términos se pueden cancelar. El entrenador ahora tiene 12 x 11 x 10 en la parte superior y 3 x 2 x 1 en la parte inferior. El entrenador ahora multiplica por arriba, que equivale a 1320, y por abajo, que equivale a 6. A continuación, el entrenador dividió 1320/6 = 220. El entrenador podría elegir 220 combinaciones diferentes de equipos de tres jugadores.

Resumen de la lección

Solo para revisar, una combinación es una disposición de objetos donde el orden no importa. Para calcular una combinación, debes usar un factorial. Un factorial es el producto de todos los enteros positivos iguales y menores que tu número. La ecuación para calcular la combinación es nCr = n! / R! (Nr)! , donde n representa el número de elementos y r representa el número de elementos que se eligen a la vez.

Al resolver la ecuación, recuerde que la forma más fácil de resolver es cancelando los términos comunes tanto en la parte superior como en la inferior de la ecuación.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, podrá:

  • Definir combinación y factorial
  • Escribe la ecuación para calcular una combinación
  • Usa la ecuación combinada para resolver problemas
  • Identificar un truco para facilitar la resolución de problemas de combinación.

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