Cómo aplicar conceptos de probabilidad continua a la resolución de problemas

Publicado el 23 noviembre, 2020

Deportes y Matemáticas

¿Has competido alguna vez en un maratón? Muchas competiciones deportivas implican medir el tiempo para completar una determinada tarea, ya sea correr, nadar, hacer kayak, etc. Aunque las medidas de tiempo utilizadas para clasificar a los participantes se redondean a un cierto valor decimal, en principio, existe una precisión infinita asociada con tales medidas. Por ejemplo, podríamos medir el tiempo en 37,25 segundos o 37,248 segundos o 37,247899 segundos.

En esta lección, aprenderá a aplicar conceptos de probabilidad continua para resolver problemas. En particular, examinaremos cómo encontrar áreas bajo la curva de distribuciones de probabilidad continuas.

Distribución de probabilidad continua

Hay dos tipos de distribuciones de probabilidad: continuas y discretas.

Una distribución de probabilidad discreta está asociada con procesos como lanzar una moneda y tirar los dados. En este caso, hay un número contable de posibles resultados. Por ejemplo, los posibles resultados de un lanzamiento de moneda son cara y cruz, mientras que los posibles resultados de lanzar un dado de seis caras son números enteros del 1 al 6, inclusive.

Una distribución de probabilidad continua es un modelo de procesos en el que hay un número incontable de posibles resultados. Las mediciones de peso y altura dentro de una población estarían asociadas con una distribución de probabilidad continua. Esto se debe a que no existe un límite matemático, al menos en teoría, sobre la precisión con la que se pueden medir estas cantidades.

Conceptos de probabilidad continua

Procedamos a discutir algunos conceptos de probabilidad continua que son útiles para la resolución de problemas. La gráfica de una distribución de probabilidad continua es, como puede suponer, continua. Esto significa que no contiene huecos, saltos ni asíntotas verticales. Además, una función de distribución de probabilidad continua, f (x) , también conocida como función de densidad de probabilidad , debe satisfacer las propiedades que se muestran en la pantalla (ver video).

1. Esta primera propiedad implica que no puede haber una probabilidad negativa de un resultado determinado. En otras palabras, la probabilidad más baja posible asociada con cualquier resultado es cero.

Primera propiedad

2. Esta segunda propiedad indica que el área total bajo la curva de la función de densidad de probabilidad debe ser igual a uno.

Segunda propiedad

3. La tercera propiedad implica que la probabilidad para un rango de valores se puede encontrar calculando el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad.

Tercera propiedad

¿Cómo se pueden aplicar estas propiedades a los problemas? Trabajemos juntos algunos ejemplos.

La función de densidad de probabilidad asociada con la resistencia de un componente electrónico viene dada por la función que se muestra.

Función

¿Cuál es la probabilidad de que la resistencia sea menor que 3?

Dado que la probabilidad es distinta de cero solo dentro del rango de 1 a 4, los límites de la integral son de 1 a 3. En otras palabras, calculamos el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad a la izquierda de 3. El La solución a este problema es como se muestra.

Solución de probabilidad

A continuación, ¿cuál es el área total bajo la curva de la función de densidad de probabilidad? Para resolver este problema, simplemente tomamos la integral sobre el rango en el que la función de densidad de probabilidad es distinta de cero, que resulta estar entre 1 y 4. Calcular la integral nos da 1 como respuesta, como deberíamos esperar. Se muestra el cálculo.

Solución de probabilidad

Y finalmente, ¿la probabilidad es siempre positiva? Al observar cómo se define la función, no hay x para el que f (x) sea ​​menor que cero. Esto está de acuerdo con lo que deberíamos esperar de la función de densidad de probabilidad.

Resumen de la lección

Esta puede haber sido una lección densa que provocó un mal funcionamiento de su cerebro. Entonces, resumamos todo.

En esta lección, hemos aprendido cómo aplicar conceptos de probabilidad continua para resolver problemas. Recuerde que una función continua no contiene saltos, huecos ni asíntotas verticales. Aplicando este concepto a las probabilidades, una distribución de probabilidad continua es un modelo de procesos en el que hay un número incontable de posibles resultados. Esto contrasta con una distribución de probabilidad discreta, que está asociada con procesos como tirar los dados y lanzar una moneda.

También hemos aprendido que la función de densidad de probabilidad , f (x) , debe satisfacer las siguientes propiedades:

  • f (x) es siempre mayor o igual a cero
  • Cuando f (x) se integra en todo su dominio, el área bajo la curva es igual a uno, y
  • La probabilidad para un rango de valores se puede encontrar calculando el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad

Al resolver problemas que involucran una distribución de probabilidad continua, es importante pensar en estas propiedades y aplicarlas correctamente. Ahora debería sentirse más cómodo resolviendo problemas similares al ejemplo que hemos hecho.

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