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Cómo calcular una serie geométrica

Publicado el 18 septiembre, 2020

¿Cuántas vistas obtendremos?

En una lección anterior sobre secuencias geométricas , vimos que si un video de YouTube obtiene dos visitas el primer día, pero luego tres veces más visitas nuevas cada día consecutivo, rápidamente obtendría más de 3.000.000 de visitas nuevas 14 después de su publicación. Pero esto solo nos ayudó a averiguar cuántas visitas nuevas recibió cada día específico. Si queremos saber, por ejemplo, cuántas vistas totales obtuvo en esas dos primeras semanas, tendríamos que sumar todas esas entradas.

Ahí es cuando la secuencia geométrica se convierte en una serie geométrica . Por supuesto, podríamos intentar sumar estos números a mano. Pero, como probablemente ya sea obvio, a los matemáticos les encantan los atajos. Lo que estamos tratando de hacer es sumar una secuencia geométrica.

Demostrando la fórmula

Una secuencia geométrica comienza con algún número. Digamos que es un _1. Luego, queremos agregar el siguiente término, que sería a _1 * r , porque seguimos multiplicando. El siguiente sería un _1 * r ^ 2, a continuación, un _1 * r ^ 3, y seguir y seguir hasta que el n º plazo, que es un _1 * r ^ ( n – 1). Debido a que es una serie, queremos agregar todas estas cosas, así que las estamos sumando todas.

Digamos que esto es igual as , nuestra suma. Esto es lo que tenemos. Eso es lo que queremos saber. ¿Cuál es s iguales a? Bueno, si s es igual a lo que acabamos de escribir allí, podría multiplicar ambos lados de la ecuación por r . Eso significaría r * s . Ahora solo tengo que distribuir una r a todo lo que hay allí. un _1 se convierte en un _1 * r , el a _1 * r se convierte en un _1 * r ^ 2, el a _1 * r ^ 2 se convierte en un _1 *r ^ 3 y así sucesivamente. El a _1 * r ^ ( n – 1) se convertiría en un _1 * r ^ n . Ese sería mi último mandato.

La razón por la que lo hice es porque ahora podemos usar un truco. Tomo los dos lados de la mano izquierda de la ecuación, s y r * s , y le resto aquellos, por lo que s – ( r * s ). Luego tomo los lados derechos de la ecuación y los resto: a _1 + ( a _1 * r ) + ( a _1 * r ^ 2) y todas esas cosas menos ( a _1 * r ) + ( a _1 * r ^ 2) + ( a _1 * r ^ 3) y todas esas cosas.


Ésta es la suma de cualquier serie geométrica finita.
probando la fórmula

La mayoría de estas cosas se cancelarán. La a _1 delante del primero permanecerá. Pero luego un _1 * r y un _1 * r se cancelan, un _1 * r ^ 2 y un _1 * r ^ 2 se cancelan, todas estas cosas se cancelan. El a _1 * r ^ ( n – 1) se cancela. Pero luego tengo, en el otro, el a _1 * r ^ n , que no se cancela, así que tengo un a _1 * r ^ n negativo .

Muchas de esas cosas desaparecen y todo lo que me queda es srs = a _1 – ( a _1) ( r ^ n ). Ahora, debido a que ambos lados de esta ecuación comparten un factor, puedo factorizar an s del lado izquierdo para obtener s (1 – r ). Puedo factorizar un a _1 del lado derecho para obtener ( a _1) (1 – r ^ n ).

Luego, a la izquierda, como voy a intentar obtener s por sí mismo, puedo deshacer los tiempos (1 – r ) con dividir entre (1 – r ). Lo que obtengo es que s es igual a ( a _1) ((1 – r ^ n ) / (1 – r )) .

Esa fue una matemática bastante elegante, pero lo que se nos ocurrió es la suma de cualquier serie geométrica finita. Por lo tanto, si estamos tomando la suma, desde el primer término a la n º plazo, de la secuencia geométrica ( un _1) ( r ^ ( n – 1)), que es simplemente igual a ( un _1) ((1 – r ^ n ) / (1 – r )). Lo que tenemos ahora es nuestra fórmula. Ahora, armados con nuestra fórmula, podemos responder la pregunta de cuántas vistas totales obtuvo nuestro video en las primeras dos semanas.

Resolviendo la Fórmula

Decidimos que la regla para el término n era 2 * 3 ^ ( n – 1), porque 2 era el primer término y la razón común era 3; Seguimos multiplicando por 3 cada vez. Esto significa que si queremos saber cuántas vistas totales obtuvimos en las dos primeras semanas, calcularemos la suma de esa regla exacta desde el día 1 hasta el día 14.

Ahora puedo simplemente insertar números en la fórmula. a _1 es 2. En este caso, n es 14 porque estamos pasando por 14 días. r es 3.

Obtengo 2 ((1-3 ^ 14) / (1-3)). Esto se simplifica en 2 ((1 – 4,782,969) / (1 – 3)). Siguiendo y restando, obtengo 2 (-4,782,969 / -2). Al hacer la división, lo negativo dividido por lo negativo es positivo. Luego, haciendo la multiplicación, parece que nuestro video obtuvo 4,782,968 visitas solo en las primeras dos semanas.


Simplificando la fórmula
simplificando la fórmula

Encontrar la fórmula para una serie infinita

La fórmula que se nos ocurrió funciona para todas las series geométricas finitas. Pero, resulta que también funcionará para algunas series geométricas infinitas. Si r , la proporción común, es mayor que 1, entonces la serie se vuelve cada vez más grande y más grande, y nunca se detendrá. Encontrar una suma específica será imposible porque simplemente se convertirá en infinito.

Si, en cambio, r está entre 0 y 1, la suma convergerá a un número específico. Esto se debe a que los números que vamos a agregar se vuelven tan pequeños que básicamente se convierten en 0 y realmente no hacen nada.

Entonces, nuestra suma, de 1 a infinito, de nuestra serie geométrica no tiene la misma ecuación, ( a _1) ((1 – r ^ n ) / (1 – r )). Ahora, ese r ^ n en la fórmula anterior podría ser (1/2) ^ 100, porque vamos al infinito, por lo que n se volverá enorme. Y (1/2) ^ 100 es como 0.00000… ni siquiera lo sé; hay un montón de ceros ahí.

Esto significa que si continuamos, (1/2) ^ 200, (1/2) ^ 300, se vuelve cada vez más pequeño. Entonces, 1/2 al infinito se convertirá en 0, lo que significa que este r ^ n desaparece de nuestra fórmula y nuestra fórmula se convierte en ( a _1) ((1 – 0) / (1 – r )). Luego puedo multiplicar el a _1 por el 1 y mi fórmula se simplifica a ( a _1) / (1 – r ) .


La suma converge a un número específico.
encontrando la fórmula

Resolver una serie geométrica infinita

Uno de los ejemplos clásicos de una secuencia geométrica infinita que en realidad tiene una suma finita tiene que ver con una pelota que se dispara al aire y luego rebota una y otra vez hasta que básicamente deja de rebotar y aterriza en el suelo. La pregunta es: ¿qué tan lejos viajó la pelota?

Digamos que, en este ejemplo, se disparó al aire y volvió a bajar y viajó 2 pies en su primer viaje. Luego, cuando rebotó y golpeó el suelo, viajó 1/4 de la distancia. Entonces, si subió y bajó 2 pies la primera vez, la segunda vez solo subiría y bajaría medio pie. Entonces, solo subiría y bajaría .125 pies y luego rebotaría continuamente cantidades cada vez más pequeñas. Iría, teóricamente, para siempre, al infinito.

La regla para esta secuencia sería a _ n = 2 * (.25) ^ ( n – 1). 2 es el valor inicial y la proporción común es 1/4.

Queremos tomar la suma, desde el primero hasta el término infinito de esa regla, y ahora puedo usar mi fórmula: ( a _1) / (1 – r ). a _1 es 2 y r es 1/4. Mi fórmula se convierte en 2 / (1 – 1/4). 1 – 1/4 es 3/4. Dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por su recíproco. Obtengo 2 * 4/3. Poner un 1 debajo del 2 y multiplicarlo me da 8/3, o alrededor de 2.6667 pies.

Resumen de la lección

Para repasar, las series geométricas finitas se pueden evaluar con la fórmula ( a _1) ((1 – r ^ n ) / (1 – r )) donde r es la razón común yn es el número de términos de la serie. Las series geométricas infinitas se pueden evaluar usando una versión simplificada de esta fórmula, ( a _1) / (1 – r ), pero solo si r está entre 0 y 1.

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