Cómo completar el cuadrado

Publicado el 18 septiembre, 2020

Matemáticas, Economía y Yogur

Decidí bastante temprano en mi primer año de universidad para convertirme en una especialización en matemáticas, pero un poco después también descubrí que también estaba realmente interesado en la economía. Pensé en obtener un menor de economía, pero me dijeron que el menor era solo dos clases menos que el mayor. Bueno, si iba a tomarme el tiempo para pasar por 9 clases de economía, ¿por qué no 11? Así que fui a por ello – ¡doble especialización, aquí voy! Y estoy muy contento de haberlo hecho también. Terminó siendo muy fácil porque había suficientes matemáticas en mis clases de economía para que las cosas fueran difíciles para todos los demás, pero bastante fáciles para mí.

De todos modos, menciono esto porque quería compartir con ustedes un problema de matemáticas en el que muchos de mis compañeros de economía podrían haberse quedado atascados. Este es el escenario: he decidido subirme al tren y abrir una nueva cadena de yogur helado, ya sabes, del tipo en el que te dejan poner lo que quieras y luego lo pesas al final.

Bueno, sé que la gente querrá poder elegir entre muchos ingredientes diferentes, por lo que tener más probablemente sea mejor. ¿Pero cuántos debería tener? Si me excediera y comprara como 200 tipos diferentes de aderezos, algunos de ellos probablemente nunca se comerían y terminaría perdiendo dinero.

Así que esto es lo que harían los economistas. Usando datos y teoría, establecerían un modelo matemático que predice cuánto dinero ganarían con diferentes cantidades de ingredientes. Digamos que, en función de cómo lo habían hecho las tiendas de yogur anteriores y cómo le va a la economía en este momento, se les ocurrió esto: y = – x 2 + 36 x – 224, donde y es la cantidad de beneficio que obtendré ( en miles de dólares) y x es la cantidad de ingredientes que voy a ofrecer.

Debido a que el mayor exponente de la x es un 2, lo que tenemos aquí es una ecuación cuadrática, lo que significa que nuestra gráfica será una parábola. Esta cuadrática está en forma estándar ( y = a x 2 + b x + c), lo que significa que podemos hacer algunas observaciones.

El valor c nos dirá nuestra intersección en y , lo que significa que si no ofreciera ingredientes adicionales o los sustituyera en x = 0, terminaría perdiendo una gran cantidad de dinero. A continuación, el valor negativo de a me dice que será una parábola cóncava hacia abajo, así que supongo que nuestro gráfico se verá así. Entonces, esto tiene sentido para mí: a medida que ofrezca más y más ingredientes, mi beneficio aumentará lentamente. Pero eventualmente llegaré a un punto en el que ofrezco demasiados aderezos y no se los comen, así que empiezo a perder dinero.


Gráfico de la parábola cóncava hacia abajo
Parábola de beneficios de yogur

La pregunta es, ¿dónde está el vértice de esta parábola? Bueno, lástima que esta función no se nos haya dado en forma de vértice en lugar de en forma estándar. Si lo fuera, sabría exactamente cuál es la cantidad de ingredientes para maximizar las ganancias. Entonces, ¿cómo podemos cambiarlo a la forma que queremos?

Bueno, eso es exactamente lo que es completar el cuadrado: tomar una ecuación en forma estándar como esta ( y = a x 2 + b x + c) y cambiarla a forma de vértice, así: y = a ( x – h) 2 + k. La parte principal del problema se reduce a este pequeño: ( x – h) 2 . A esto lo llamamos un binomio cuadrado perfecto y debemos recordar que no es igual ax 2 – h 2 , sino que es igual a ( x – h) ( x– h). Entonces, si estamos tratando de cambiar nuestra ecuación de forma estándar a forma de vértice, lo que tenemos que hacer es factorizar la ecuación de forma estándar en algo como esto, un binomio cuadrado perfecto. Como suele ser el caso en matemáticas, todo se reducirá a un patrón.

Encontrar y completar el cuadrado

Dejemos nuestro problema del yogur rápidamente a uno ligeramente diferente con números un poco más agradables para facilitar la búsqueda del patrón, digamos, ( x + 5) 2 . Bueno, eso es solo ( x + 5) ( x + 5), que podemos FALTAR para que sea x 2 + 10 x + 25.

Entonces, ¿qué relación tienen los números en la expresión de forma estándar entre sí? Bueno, puede ser un poco complicado de ver, pero resulta que nuestro valor de b, 10, dividido por 2 (que es 5) y luego al cuadrado se convierte en nuestro valor de c, 25. Como sabemos que este trinomio puede ser factorizado en un binomio cuadrado perfecto, ( x + 5) 2 , resultará que cualquier trinomio donde el valor medio dividido por 2 y luego al cuadrado sea nuestro valor final, el valor c, podrá factorizarse como un cuadrado perfecto binomio. Si queremos decir lo mismo en matemáticas, buscamos un trinomio con un valor de ac que sea igual a (b / 2) 2 . Si ese es el caso, se puede factorizar como un binomio cuadrado perfecto.

Entonces, para hacer esto, necesitamos que nuestro valor c sea un número específico. Pero cuando tenemos una ecuación a la que podemos, digamos, sumar 20 a ambos lados, podemos hacer que c valore lo que queramos. Esto nos permite forzar el valor c para que sea el número exacto que necesitamos para convertirse en un binomio cuadrado perfecto. Este proceso de cambiar el valor c en el número exacto correcto que hace que se ajuste al patrón y se convierta en un binomio cuadrado perfecto es lo que los matemáticos llaman completar el cuadrado .


Completar el cuadrado implica convertir una ecuación cuadrática en forma estándar en una en forma de vértice
Completar las ecuaciones cuadradas

Beneficio de yogur

Veamos cómo haríamos esto con nuestro problema de yogur para determinar la cantidad correcta de ingredientes para ofrecer. Estábamos aquí – y = – x 2 + 36 x – 224 – pero ahora sabemos que nuestro valor de c debe ser algo específico para que funcione como un binomio cuadrado perfecto. Lo que debe ser es el número del medio, 36, dividido por 2 (18) y al cuadrado (324). En este momento, nuestro valor c es -224, por lo que no es el número correcto. Nuestro trinomio no está listo para factorizarse como un binomio cuadrado perfecto … todavía.

Lo que podemos hacer es usar operaciones inversas en ambos lados del signo igual para convertirlo en ese número que necesitamos, 324. Ahora, este es en realidad un ejemplo extraño y debido a que tenemos este signo negativo, un valor negativo a, de hecho, necesitamos que nuestro valor c sea -324. Entonces, si quiero que el valor c sea -324, y ahora mismo es -224, simplemente necesito hacerlo 100 más pequeño. Eso significa que podemos restar 100 de ambos lados de la ecuación, lo que nos da esto: y – 100 = – x 2 + 36 x – 324. Ahora que nuestro valor c es el valor exacto correcto que debe ser, podemos factorizarlo en un binomio cuadrado perfecto.

Primero quitemos este signo negativo de todo, dividiéndolo, poniéndolo al frente y luego cambiando el signo en todo lo demás. Y ahora necesitamos factorizar el trinomio en el interior del paréntesis, ( x 2 – 36 x + 324). Encontrar dos números que se multipliquen hasta 324 y sumen -36 podría ser un poco difícil de encontrar, pero eventualmente llegaríamos a -18 y -18. El hecho de que ambos sean el mismo número y también iguales a la mitad de 36 significa que estamos en el camino correcto.

Una vez que hayamos encontrado esos dos números, podemos factorizar la expresión y reescribirla de la siguiente manera: y – 100 = – ( x – 18) ( x – 18), y luego, como ambos son iguales, podemos combinarlos en uno y cámbielo a esto: y – 100 = – ( x – 18) 2 . ¡Ya hemos completado el cuadrado! Tomamos un trinomio y lo convertimos en un binomio cuadrado perfecto. Un último paso para cambiarlo a la forma de vértice significa volver a agregar el -100 al otro lado de la ecuación, y ahora tenemos nuestra forma de vértice, y = – ( x – 18) 2+ 100. Recordando que los valores h y k de la forma del vértice nos dicen dónde está el vértice, el vértice de nuestra parábola estaba en (18, 100). Eso significa que 18 es la cantidad óptima de ingredientes para vender, y ganaré $ 100,000 si hago eso. Mmm, tal vez debería reconsiderar ser profesor …


Los valores de h y k, 18 y 100, representan el vértice
Vértice de parábola de beneficio de yogur

Completar el cuadrado puede ser muy difícil de ver al principio, y probablemente sea una de las cosas más complicadas que necesitarás aprender en una clase de álgebra. Ahora que conoce la idea general, probablemente sea una buena apuesta revisar la lección posterior en la que nos centraremos en el proceso y resolveremos algunos problemas de práctica.

Resumen de la lección

Completar el cuadrado convierte una ecuación cuadrática en forma estándar ( y = a x 2 + b x + c) en una en forma de vértice ( y = a ( x – h) 2 + k). Un trinomio se puede factorizar en un binomio cuadrado perfecto siempre que el valor de c sea igual a (b / 2) 2 , lo que significa que si el valor de c de su trinomio no es naturalmente igual al que desea que sea, puede completar el cuadrado realizando operaciones en ambos lados de la ecuación para forzar el valor de c a ser exactamente lo que usted desea.

Objetivos de la lección

Cuando termine esta lección, podrá:

  • Cambiar una ecuación cuadrática escrita en forma estándar en una en forma de vértice
  • Factoriza trinomios en un binomio cuadrado perfecto

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