Cómo componer funciones

Composición de funciones

Es realmente fácil para los matemáticos hacer que las cosas parezcan mucho más difíciles de lo que realmente son. Esto a menudo se reduce a un vocabulario confuso o una notación confusa. Si bien estas palabras o símbolos siempre tendrán un propósito y terminarán haciéndolo la vida más fácil, cuando los aprendes por primera vez, puede ser difícil mantenerlo todo en orden.

El tema sobre el que trata esta lección, composición de funciones , es uno de esos temas. Puede parecer complicado al principio, así que comencemos poco a poco y le facilitemos el proceso.

Notación de funciones

Comenzaremos revisando qué es la notación de funciones.

Básicamente, es solo otra forma de escribir una ecuación. En lugar de decir y = 4 x – 1, podemos decir f ( x ) = 4 x – 1. Esta notación ahora le da a esta función un nombre, f , y nos permite sustituir cualquier cosa que queramos en ella.

En lugar de f ( x ), ¿y si fuera f ( w )? Eso significa que f ( w ) es solo 4 w – 1.

No solo tenemos que usar símbolos tampoco. ¿Qué tal f (6)? Ahora solo ponemos un 6 en ese lugar: 4 (6) – 1 = 23.

¡Incluso podríamos usar formas aleatorias si queremos! ¿Qué tal f ( 🙂 )? Simplemente conecto esa carita sonriente, lo que significa f ( 🙂 ) = 4 🙂 – 1.

Subamos un poco la dificultad. En lugar de sustituir en un solo término, ¿qué pasaría si probamos una expresión con múltiples términos? ¿Quizás f (-2 m +3)? El hecho de que sea una expresión más grande no significa que hagamos algo diferente. Donde solía haber una x (o un emoticón, o un 6, o una w ), ahora pongo -2 m + 3. Eso nos da esto: 4 (-2 m + 3) – 1, que luego podemos simplifica con la propiedad distributiva y combina términos semejantes para terminar con nuestra respuesta: -8 m + 11.

Composición de funciones

Entonces, como puede ver, podemos sustituir cualquier cosa vieja en una función. Entonces, ¿por qué no otra función? Eso es exactamente lo que es una composición de funciones : tomamos una función y la conectamos a otra. Si definimos otra función, digamos que g ( x ) es 3 x 2 , entonces podemos evaluar f ( g ( x )) haciendo exactamente lo que hemos estado haciendo durante los últimos minutos y simplemente conectando una función a otra.

Comience conectando una función a otra

Comenzamos con la función exterior, f : 4 veces algo – 1, pero en todos los lugares donde normalmente habríamos puesto una x , ahora la sustituimos en la función g ( x ). Entonces, en lugar de 4 x – 1, o 4 w – 1, o 4 🙂 – 1, tenemos 4 ( g ( x )) – 1. Pero como sabemos que g ( x ) es solo 3 x 2 , podemos sustitúyelo también, lo que hace que f ( g ( x )) sea igual a 4 (3 x 2 ) – 1. Simplificando nuevamente nos da nuestra respuesta final como 12 x2 – 1.

¡Y eso es! Sin embargo, las funciones que componen pueden ser difíciles de ver porque todas esas cartas – f y g y x – puede ser desalentador. Incluso cuando obtiene esa parte, puede ser fácil resolver el problema al revés y sustituir las funciones entre sí de manera incorrecta. Entonces, veamos uno o dos ejemplos y veamos si podemos abordar esos dos errores comunes y evitar que te sucedan.

Ejemplo 1

Configuremos algunas funciones nuevas, tal vez r ( x ) = – x + 1 ys ( x ) = 2 x + 5, y repasemos las diferentes formas en que podríamos componerlas.

¿Qué tal r ( s ( x ))? Bueno, r es la función exterior, así que comenzamos con eso: algo negativo más 1. Pero en lugar de una x , estamos sustituyendo en s ( x ). Eso convierte lo que tenemos, – x + 1, en – (2 x + 5) + 1. Nuevamente, distribuir y simplificar nos da r ( s ( x )) = -2 x – 4.

¿Qué tal al revés: s ( r ( x ))? Esta vez, la función exterior es s , lo que significa que comenzaremos con 2 x + 5, pero luego sustituiremos la función r donde solía estar x . Eso nos da 2 (- x + 1) + 5, y nuestra respuesta simplificada es -2 x + 7.

Observe que obtenemos diferentes respuestas cuando componimos las funciones en diferentes direcciones. Esto significa que debes tener cuidado de no hacerlos de manera incorrecta. Limito mis errores comenzando siempre por escribir la función exterior, y solo entonces pienso en la interior.

Limite los errores escribiendo primero la función exterior y luego pase a la interior

Ejemplo # 2

Hay algunas otras formas de hacer que estos problemas sean un poco más complejos. Uno de ellos es componer una función consigo mismo. Quizás r ( r ( x )): r es la función exterior, por lo que empezamos con – x + 1, pero luego r es la función interior también, así que donde vimos la x , ponemos otra – x + 1. Eso nos da esto: – (- x + 1) + 1, que se simplifica a simplemente x .

También podemos evaluar una composición de funciones en un valor específico, tal vez como s ( s (3)). Comenzamos con la función s , 2 x + 5, sustituimos en otra función s , 2 (2 x + 5) + 5, y luego sustituimos un 3 en eso (donde solía estar la x ), lo que nos da 2 (2 ( 3) + 5) + 5. Ahora, en lugar de simplemente simplificar, lo multiplicamos y lo sumamos. 2 por 3 es 6 más 5 es 11 por 2 es 22 más 5 es 27. ¡Entonces, s ( s (3)) es solo 27!

Resumen de la lección

Con suerte, esto ha ayudado a eliminar parte de la naturaleza confusa de las composiciones de funciones y mostrar que es simplemente otra forma de conectar las cosas en ecuaciones. Repasemos rápidamente los aspectos más destacados.

Podemos sustituir cualquier cosa que queramos en una función: variables, formas, números e incluso otras funciones.

Eso es lo que significa componer funciones: conectar una función a otra.

Al hacerlo, comience con la función externa y avance hacia adentro cambiando la x en cualquier función nueva que se le pida que sustituya.

Al evaluar una composición de funciones en un valor numérico específico, haga el mismo proceso, pero luego ingrese ese número donde solía estar la x .