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Cómo dividir polinomios con división larga

Publicado el 18 septiembre, 2020

División larga polinomial

La división larga polinomial es muy similar a la división larga que hicimos cuando éramos niños, excepto que ahora tenemos números y x s. Solo se necesitan dos pasos que se repiten hasta que haya terminado.

  1. Divide los primeros términos.
  2. Multiplica el resultado del divisor y luego réstalo del dividendo .
  3. ¡Repetir!

Repasemos las partes de un problema de división. Tenemos el divisor dividido en dividendo y, por supuesto, nuestra respuesta es el cociente .

Ejemplo 1

Aquí está nuestro primer ejemplo: ( x ^ 2 + 7 x + 12) / ( x + 3).

Para completar nuestra división larga, x ^ 2 + 7 x + 12 es el dividendo, por lo que va debajo del símbolo de división larga. x +3 es el divisor, por lo que va hacia el exterior, delante del símbolo de división larga. Ahora estamos listos para comenzar la división. Los pasos son los mismos cada vez. Es más fácil mostrar y hablar sobre los pasos que enumerarlos, así que echemos un vistazo. Para encontrar el primer término del cociente, tomamos los primeros términos del divisor y el dividendo y los dividimos. Me gusta escribirlos como una fracción; es más fácil dividir o reducir: x ^ 2 / x = x . Xes el primer término del cociente; lo escribimos sobre el símbolo de división larga. Para averiguar qué restaremos del dividendo, multiplicamos x por el divisor, x +3: x ( x +3) = x ^ 2 + 3 x . x ^ 2 + 3 x se escribe debajo del dividendo, emparejando términos semejantes. Aquí es donde me gusta hacer la vida más fácil. Para restar los polinomios, simplemente cambio sus signos y sumo. Entonces x ^ 2 – x ^ 2 = 0, y 7 x – 3 x = 4 x . Al igual que hicimos en la división larga, reducimos el siguiente período, que es 12.


Tome los primeros términos del divisor y divida y divídalos.
polinomios de división larga

¿Adivina qué? ¡Hacemos exactamente el mismo paso! Para encontrar el siguiente término del cociente, tomamos los nuevos primeros términos y los dividimos, por lo que tendremos 4 x / x . Me gusta escribirlos como una fracción; es más fácil: 4 x / x = 4 . 4, o 4 positivo, es el siguiente término del cociente. Recuerde, eso se escribe junto a la x sobre el símbolo de división larga. Para averiguar lo que restaremos del dividendo, multiplicamos 4 por el divisor, ( x + 3). (4) ( x + 3) = 4 x + 12. 4 x + 12 se escribe debajo del dividendo, emparejando términos semejantes. A continuación, me gusta cambiar los signos y sumar: 4 x+ 12 – 4 x – 12 = 0. Resulta que nuestro resto es cero. ¿Cómo es nuestra respuesta? Basta con mirar por encima del símbolo de división: x + 4. ¿Estás pensando “Eso no estuvo tan mal”? Probemos uno un poco más. Que no cunda el pánico. Siga exactamente los mismos pasos, repita y tendremos una respuesta.

Ejemplo # 2

Dividir (15 x ^ 2 + 26 x + 8) / (5 x + 2).

Para completar nuestra división larga, 15 x ^ 2 + 26 x + 8 está en el dividendo, por lo que va debajo del símbolo de división larga. 5 x + 2 es el divisor, por lo que va al exterior en el frente del símbolo de división larga. Ahora estamos listos para comenzar la división. Para encontrar el primer término del cociente, tomamos los primeros términos del divisor y el dividendo y los dividimos: 15 x ^ 2/5 x = 3 x . 3 x es el primer término del cociente; lo escribimos sobre el símbolo de división larga. Para averiguar qué restaremos del dividendo, multiplicamos 3 x por el divisor, 5 x + 2: 3 x (5 x + 2) = 15x ^ 2 + 6 x . 15 x ^ 2 + 6 x se escribe debajo del dividendo, emparejando términos semejantes. Me gusta cambiar los signos y agregar hacia abajo: 15 x ^ 2-15 x ^ 2 = 0 y 26 x + (-6 x ) = 20 x . Al igual que hicimos en la división larga, vamos a reducir el próximo período, que es 8.


Baje el 8 y divida nuevamente.
completar la división larga

¡Y hacemos exactamente el mismo paso! Para encontrar el siguiente término del cociente, tomamos los nuevos primeros términos y los dividimos: 20 x / 5 x = 4 . 4, o +4, es el siguiente término del cociente. Recuerde, eso se escribe al lado del 3 x arriba del símbolo de división larga. Para averiguar lo que restaremos del dividendo, multiplicamos 4 por el divisor, 5 x + 2: (4) (5 x + 2) = 20 x + 8. 20 x + 8 se escribe debajo del dividendo, coincidiendo como condiciones. Voy a cambiar sus signos y agregar hacia abajo: 20 x + (-20 x) = 0; 8 + (-8) = 0. Resulta que nuestro resto es cero. Para encontrar su respuesta, o el cociente, simplemente mire arriba del símbolo de división: 3 x + 4. Bien, sé lo que está pensando: ‘¿Qué pasa cuando tengo un resto?’ Probemos con un problema de división larga que tiene un resto. ¡No hay magia aquí! Vamos a seguir los mismos pasos, excepto que nuestra respuesta final se verá un poco diferente.

Ejemplo # 3

(4 x ^ 2 + 8 x – 5) / (2 x +1).

Para completar nuestra división larga, 4 x ^ 2 + 8 x – 5 es el dividendo, por lo que va debajo del símbolo de división larga. 2 x + 1 es el divisor, por lo que va hacia el exterior frente al símbolo de división larga. Ahora estamos listos para comenzar la división. Para encontrar el primer término del cociente, tomamos los primeros términos del divisor y el dividendo y los dividimos: 4 x ^ 2/2 x = 2 x . 2 x es el primer término del cociente; lo escribimos sobre el símbolo de división larga. Para averiguar lo que restaremos del dividendo, multiplicamos 2 x por el divisor, 2 x +1: 2 x (2 x + 1) = 4 x^ 2 + 2 x . 4 x ^ 2 + 2 x se escribe debajo del dividendo, emparejando términos semejantes. Me gusta cambiar sus signos y agregar hacia abajo: 4 x ^ 2 + (-4 x ^ 2) = 0, y 8 x + (-2 x ) = 6 x . Al igual que lo hemos hecho antes, vamos a reducir el próximo período, que es -5.


Cambie los letreros, agregue hacia abajo y baje el -5.
tercer ejemplo

¡Vamos a hacer exactamente el mismo paso nuevamente! Para encontrar el siguiente término del cociente, tomamos los nuevos primeros términos y los dividimos: 6 x / 2 x = 3 . 3, o +3, es el siguiente término del cociente. Recuerde, eso se escribe al lado del 2 x arriba del símbolo de división larga. Para averiguar qué restaremos del dividendo, multiplicamos 3 veces el divisor, 2 x +1. (3) (2 x + 1) = 6 x + 3. 6 x + 3 se escribe debajo del dividendo, uniendo términos semejantes. Una vez más, me gusta cambiar los signos y agregar directamente hacia abajo, entonces 6 x + (-6 x) = 0; -5 + (-3) = -8. Resulta que nuestro resto es -8. Vamos a escribir el resto como una fracción: -8 / (2 x + 1). Entonces, nuestra respuesta final se verá así (2 x + 3) + -8 / (2 x + 1).

Resumen de la lección

¡Dividir polinomios usando división larga requiere solo dos pasos que se repiten hasta que termine!

  1. Divide los primeros términos.
  2. Multiplica ese cociente por el divisor y réstalo del dividendo.
  3. ¡Y repetir!

¿Recuerda cuánto trabajo hizo con la división larga? ¿Cuánto papel usaste? Lo mismo es cierto para la división larga de polinomios. No se salte los pasos, use su papel y no intente esto en su cabeza. ¡Las respuestas de opción múltiple se ven muy similares por una razón! Un pequeño error y todo el problema está mal. No hay crédito parcial en una prueba de opción múltiple.

Objetivos de la lección

Después de completar esta lección, no debería tener problemas para dividir polinomios.

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