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Cómo encontrar la circunferencia circunscrita de un triángulo

Publicado el 8 diciembre, 2020

¿Cualquiera de carreras de drones?

Supongamos que compraste un dron nuevo y veloz y, después de un poco de práctica, quisieras participar en algunas competencias de carreras. Uno de los primeros desafíos que podría encontrar sería simplemente correr alrededor de tres puntos en el suelo. Tu primera táctica podría ser trazar una línea entre cada punto, dándote un triángulo, lo que resulta en la distancia más corta que tendrías que correr. Pero, en una carrera, este patrón implicaría reducir drásticamente la velocidad para realizar el giro en cada vértice. Otra táctica podría ser correr alrededor de estos puntos a una velocidad constante en un patrón circular que solo toque cada uno de los vértices. Lo que ha hecho en este caso es crear un círculo circunferencial de un triángulo . Averigüemos cómo podemos crear el círculo circunferencial de cualquier forma triangular que se nos dé.

Construyendo el Circuncírculo de un Triángulo

Se garantiza que un triángulo tiene solo un círculo que contiene cada una de sus tres esquinas. Podemos construir ese círculo si podemos determinar tanto el centro del círculo como su radio. El centro del círculo que circunscribe el triángulo se llama circuncentro y se puede encontrar usando el siguiente método gráfico.

Primero, encuentra el punto medio de cualquier lado del triángulo. Construya una nueva línea que se extienda hacia el triángulo desde este punto de bisección que es perpendicular al lado del triángulo. Tenga en cuenta que cualquier punto a lo largo de esta nueva línea perpendicular tiene una propiedad similar al punto que biseca el segmento del triángulo. Es equidistante a ambos extremos de ese lado del triángulo.

Ahora, toma cualquiera de los lados restantes del triángulo y sigue la misma operación. Primero, encuentre la bisectriz del segmento de línea que forma un lado del triángulo y luego extienda una perpendicular al triángulo desde este punto. Dado que ningún lado de un triángulo puede ser paralelo, estas dos nuevas líneas bisectables perpendiculares tampoco pueden ser nunca paralelas y siempre se encontrarán en un punto único.

¿Por qué no importa qué lados elijamos usar? La prueba radica en el hecho de que cada par de vértices del triángulo es equidistante de cualquier punto a lo largo de sus bisectrices perpendiculares. Dado que los tres puntos se usaron en la construcción, el punto de intersección que tienen dos bisectrices en común debe ser equidistante de los tres puntos del triángulo.

Si quieres volver a hacer esta operación por el tercer lado, verás que la perpendicular se encuentra en la misma ubicación, pero esto no es necesario. Este nuevo punto que hemos encontrado es, de hecho, el circuncentro del triángulo. La medición desde el circuncentro hasta cada vértice del triángulo da exactamente la misma distancia, que por definición formará el radio de un círculo. Como es de esperar, el radio de nuestro círculo circunferencial también se conoce como circunradio . Mediante el uso de un dispositivo de dibujo circular, como un transportador, el circuncentro y el circunradio se pueden usar fácilmente para dibujar el círculo circunferencial del triángulo.

Cada uno de estos elementos se puede ver en el diagrama adjunto. Cada lado del triángulo está dividido en dos y las perpendiculares rojas se encuentran en el punto O, el circuncentro. El circunradio, R, es equidistante de cada vértice del triángulo.

Triángulo con circuncentro y circunferencia

Existen varias soluciones programáticas que también se pueden utilizar para calcular el circuncentro o el circunferencia de un triángulo. Estos se basan en el uso de coordenadas cartesianas o trilineales para definir los vértices de los triángulos y usan álgebra matricial o lineal para los cálculos asociados. Los lenguajes de programación matemática generalmente incluyen algoritmos básicos que se pueden usar para proporcionar soluciones para determinar el circuncentro, circunradio y circunferencia de un triángulo en función de las coordenadas de entrada.

Aplicaciones prácticas

Se pueden encontrar aplicaciones prácticas que utilizan circuncentro, circunradio y circunferencial siempre que se pueda construir un conjunto de entrada de tres puntos no colineales, es decir, un triángulo. Por ejemplo, considere un distrito de votación que tiene tres áreas principales de concentración de población, pero solo tiene fondos para un sitio de votación. Al determinar el circuncentro de estos tres puntos, se puede ubicar un sitio de votación en el centro de modo que la mayoría de los votantes tengan la garantía de viajar una distancia similar para emitir un voto. Cualquier punto de recolección o sitio de distribución centralizado que se encuentre en un entorno comercial o minorista podría tener un uso similar.

En los ejercicios de llenado de espacios tridimensionales, la triangulación de Delaunay se usa a menudo para crear un conjunto de triángulos bien formados que se pueden usar para aproximar una superficie curva en el espacio. La conexión de los centros de los círculos circunferenciales asociados creará un diagrama de Voronoi. Estas aproximaciones que llenan el espacio tienen una amplia aplicación en aplicaciones de modelado en toda la ciencia y la industria.

Resumen de la lección

La circunferencia de un triángulo es un círculo único que contiene cada uno de los vértices del triángulo. Se puede construir encontrando primero el circuncentro del triángulo usando métodos gráficos o computacionales. El circuncentro es equidistante de cada vértice y, como tal, también crea el circunradio del círculo que circunscribe el triángulo. Estos cálculos se pueden utilizar en una amplia variedad de disciplinas.

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