Cómo encontrar la aceleración usando gráficas de tiempo y pendiente de velocidad

Cómo encontrar la aceleración a partir de la velocidad

La fórmula para la aceleración es la tasa de cambio de la velocidad con respecto al tiempo y es una medida de qué tan rápido un objeto acelera (o desacelera) en una dirección determinada. La aceleración es una cantidad vectorial y por lo tanto tiene magnitud y dirección. La dirección asignada a la aceleración (así como a otras cantidades vectoriales como la velocidad y la posición) se basa en un sistema de referencia seleccionado. Dependiendo de las características del movimiento de un objeto, el sistema de referencia puede ser unidimensional, bidimensional o tridimensional. Para cada dimensión, se selecciona una dirección positiva. Entonces, la dirección de la cantidad vectorial (como la aceleración) se indica mediante el signo de la cantidad. Una cantidad positiva indica una dirección positiva (seleccionada); un signo negativo indica la dirección 180 grados opuesta a la dirección positiva.

Esta lección aborda el movimiento unidimensional; sin embargo, los conceptos se pueden aplicar a cada una de las direcciones perpendiculares en movimientos bidimensionales o tridimensionales.

Debido a que la aceleración es la tasa de cambio (o pendiente) de la función velocidad-tiempo, la aceleración se define como la derivada temporal de la velocidad ({eq}\dot{v} {/eq}). La fórmula para la aceleración es:

{eq}a=\dot{v}=\frac{dv}{dt} {/eq}

a = aceleración

v = velocidad

t = tiempo

Las unidades de aceleración son {eq}\frac{length}{time^{2}} {/eq}. Por ejemplo, {eq}\frac{metros}{\left (segundo \right )^{2}}\: \left (\frac{m}{s^{2}} \right ) {/eq} y {eq}\frac{pies}{\left (segundo \right )^{2}}\: \left (\frac{ft}{s^{2}} \right ) {/eq} son unidades comunes para aceleración.

Dos medidas diferentes de aceleración pueden describir el movimiento de un objeto: aceleración instantánea y aceleración promedio. La aceleración instantánea es la tasa de cambio de velocidad en una dirección específica en un momento particular en el tiempo. La aceleración promedio, por el contrario, es una medida más general de movimiento y es el cambio en la velocidad de un objeto en una dirección específica durante un período de tiempo más largo (que un instante). El término aceleración se usa indistintamente para referirse a aceleración instantánea o aceleración promedio; sin embargo, dependiendo del momento de interés (ya sea un único instante en el tiempo o un intervalo de tiempo más largo), las características del movimiento y la información disponible, los métodos utilizados para encontrar la aceleración variarán.

Cómo calcular la aceleración instantánea

La forma de calcular la aceleración instantánea depende de la información que se le proporcione.

Si se le proporciona la función de velocidad en forma de ecuación, tome la derivada temporal de la velocidad y evalúela en el momento de interés.
Calcular la velocidad instantánea utilizando la derivada temporal de la velocidad: un ejemplo

Planteamiento del problema: La velocidad (en metros por segundo) de un objeto es

{eq}v(t)=-3,2t^{2}+20t {/eq}.

¿Cuál es la aceleración (instantánea) del objeto a los 4 segundos?

Solución: Primero encuentre la función de aceleración.

{eq}a(t)=\dot{v}=-6,4t+20 {/eq}

Luego evalúe la función de aceleración a los 4 segundos.

{eq}a(4)=-6,4(4)+20=-4,8\: m/s^{2} {/eq}

No temas, si tienes una gráfica de velocidad (en lugar de una ecuación) o no sabes cómo encontrar la derivada de una función, puedes usar la gráfica de velocidad para encontrar la aceleración (como se analiza más adelante en esta lección).

Cómo calcular la aceleración promedio

La aceleración promedio durante un intervalo de tiempo determinado depende de la velocidad inicial del objeto, {eq}v_{i} {/eq}, al comienzo del intervalo de tiempo y de la velocidad final, {eq}v_{f} {/eq} al final del intervalo de tiempo: la velocidad del objeto intermedio no importa. La ecuación para la aceleración promedio es:

{eq}\bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{f}-v_{i}}{t_{f}-t_{1}} {/eq}

{eq}\bar{a} {/eq} = aceleración promedio

v= velocidad

t = tiempo

{eq}v_{f} {/eq} = velocidad final en el momento final {eq}t_{f} {/eq}

{eq}v_{i} {/eq} = velocidad inicial en el tiempo inicial {eq}t_{i} {/eq}

Si se le dan las velocidades inicial y final de un objeto y el intervalo de tiempo correspondiente, simplemente sustituya los valores en la ecuación para la aceleración promedio. Sin embargo, si en cambio, la función de velocidad (ecuación o gráfica) está disponible, encuentre las velocidades inicial y final evaluando la función de velocidad en el tiempo inicial y en el tiempo final. Luego aplique la ecuación para la velocidad promedio.
Calcular la aceleración promedio: un ejemplo

Planteamiento del problema: La velocidad (en metros/segundo) de un objeto viene dada por la siguiente función.

{eq}v(t)=-3,2t^{2}+20t {/eq}

Encuentre la aceleración promedio de 1 segundo a 4 segundos.

Solución: Primero, encuentre las velocidades inicial (t = 1) y final (t = 4).

{eq}v(1) = -3,2(1)^{2}+20(1) = 16,8\: m/s {/eq}

{eq}v(4) = -3,2(4)^{2}+20(4) = 28,8\: m/s {/eq}

Luego aplique la ecuación de aceleración promedio.

{eq}\bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{f}-v_{i}}{t_{f}-t_{1}}=\frac{ 28,8-16,8}{4-1}=4,0\: m/s^{2} {/eq}

Gráficos de velocidad y aceleración

La velocidad y la aceleración de un objeto a menudo se dan en forma de gráficas de velocidad-tiempo y aceleración-tiempo, respectivamente. La Figura 1 es un ejemplo de un gráfico de velocidad-tiempo y representa el movimiento de un vehículo que se mueve en línea recta.

Según la Figura 1, la velocidad inicial del vehículo es cero pero acelera constantemente hasta una velocidad de 30 m/s en 10 segundos y mantiene 30 m/s durante 60 segundos. Luego el vehículo desacelera a 20 m/s en 10 segundos. El vehículo mantiene 20 m/s durante 20 segundos antes de desacelerar constantemente hasta detenerse en 5 segundos.

La Figura 2 es el gráfico de aceleración-tiempo del mismo movimiento del vehículo.

Dado que la Figura 1 y la Figura 2 representan el mismo movimiento del vehículo, las dos gráficas están relacionadas.

• (0 a 10 segundos) El vehículo arranca desde parado (velocidad = 0) pero la velocidad aumenta a un ritmo constante ; entonces la aceleración es positiva y constante
• (10 a 70 segundos) La velocidad es constante (no cambia); entonces la aceleracion es cero
• (70 a 80 segundos) La velocidad disminuye a un ritmo constante ; entonces la aceleración es negativa y constante
• (80 a 100 segundos) La velocidad es constante (no cambia); entonces la aceleracion es cero
• (100 a 105 segundos) La velocidad disminuye a un ritmo constante ; entonces la aceleración es negativa y constante

Casos de mociones especiales

Hay dos casos especiales comunes de movimiento: movimiento uniforme y movimiento con aceleración constante. Ambos casos se muestran en las Figuras 1 y 2, y ambos casos involucran un gráfico lineal de velocidad-tiempo. El movimiento uniforme describe el movimiento cuando la velocidad es constante (y por lo tanto la aceleración es cero). Según la Figura 1, el vehículo experimenta un movimiento uniforme en el intervalo de tiempo de 10 a 70 segundos y luego nuevamente en el intervalo de tiempo de 80 a 100 segundos.

La aceleración constante describe el movimiento cuando la aceleración es constante y, por lo tanto, la función de velocidad es lineal, ya sea creciente (con pendiente positiva) o decreciente (con pendiente negativa). Según las Figuras 1 y 2, el vehículo experimenta una aceleración constante durante los siguientes intervalos de tiempo: 0 a 10 segundos, 70 a 80 segundos y 100 a 105 segundos.

Tanto para el movimiento uniforme como para el movimiento constante, la gráfica velocidad-tiempo es lineal.

Las figuras 3 y 4 muestran la relación entre la pendiente de una gráfica velocidad-tiempo y el valor correspondiente de la aceleración.

El signo de aceleración y dirección del movimiento.

Interpretar correctamente el signo (dirección) de la aceleración no siempre es fácil. Piense en la aceleración como un tirón. Una aceleración positiva significa que el objeto es arrastrado cada vez más rápido en la dirección positiva. Entonces, si la velocidad es positiva, una aceleración positiva aumentará la rapidez (magnitud de la velocidad): el objeto se moverá más rápido en la dirección positiva. Sin embargo, si la velocidad es negativa (es decir, el objeto se mueve en la dirección negativa), una aceleración positiva frenará el movimiento y disminuirá la velocidad: el objeto se moverá más lento. Esta tabla resume cómo una aceleración positiva o negativa afectará el movimiento de un objeto. Suponga que una dirección positiva es hacia la derecha (como lo indican las puntas de flecha).

dirección de la velocidad	dirección de aceleración	movimiento
(+) –>	(+) –>	avanzando en una dirección positiva y acelerando
(-) <–	(+) –>	moviéndose en una dirección negativa y desacelerando
(+) –>	(-) <–	avanzando en una dirección positiva y desacelerando
(-) <–	(-) <–	moviéndose en una dirección negativa y acelerando

Pendiente del gráfico velocidad-tiempo

Por definición, la velocidad instantánea de un objeto en un momento particular en el tiempo es la pendiente de la gráfica velocidad-tiempo en ese momento. Para funciones lineales,

{eq}pendiente = \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}} {/eq}

donde {eq}(x_{1},\: y_{1}) {/eq} y {eq}(x_{2},\: y_{2}) {/eq} son dos puntos en el gráfico.

Para encontrar la pendiente de la gráfica velocidad-tiempo en la Figura 1, considere cada una de las cinco piezas lineales diferentes de forma independiente.

Por ejemplo, la pendiente de la gráfica velocidad-tiempo de 70 a 80 segundos se puede calcular utilizando los dos puntos finales del intervalo: (70, 30) y (80, 20).

{eq}a = pendiente = \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{20-30}{80-70}= -1\: m/s_{2} {/eq}

La pendiente de los otros cuatro segmentos velocidad-tiempo se puede calcular de manera similar. La Figura 5 muestra la pendiente calculada (es decir, la aceleración) de cada segmento lineal.

Cuando la gráfica velocidad-tiempo es lineal, la aceleración instantánea en cualquier momento es igual a la aceleración promedio para el intervalo de tiempo lineal en el que cae el punto. Por ejemplo, la aceleración promedio en el intervalo de tiempo de 70 a 80 segundos es −1 m/s, y la aceleración instantánea en cualquier momento entre 70 y 80 segundos también es −1 m/s.

Nota importante: si la función velocidad-tiempo no es lineal, la aceleración instantánea en un momento dado es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese momento. En la siguiente sección se proporciona un ejemplo de cómo aproximar una línea tangente para estimar la aceleración a partir de una función de velocidad no lineal.

Ejemplos

A continuación se muestran algunos ejemplos de cómo obtener aceleración a partir de la velocidad.

Ejemplo 1: Aceleración en carretera

Planteamiento del problema: Un camión lo adelanta en la carretera moviéndose a 20 m/s (t = 0) y mantiene esa velocidad durante quince segundos. En t = 15 segundos, el conductor del camión ve un accidente más adelante, reduce la velocidad del camión a 10 m/s y mantiene esa velocidad durante diez segundos mientras pasa por el accidente. Luego, el conductor acelera el camión y en t = 40 segundos, el camión ha alcanzado una velocidad de 25 m/s. ¿Cuál fue la aceleración del camión entre t = 15 segundos y t = 40 segundos?

Solución:

Debido a que el problema requiere una aceleración durante un intervalo de tiempo (más largo que un instante), encuentre la aceleración promedio entre 15 y 40 segundos. La velocidad inicial en t = 15 segundos es 20 m/s (porque el conductor aún no ha aplicado los frenos para frenar el camión). La velocidad final en t=40 segundos es 25 m/s.

{eq}\bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{f}-v_{i}}{t_{f}-t_{1}}=\frac{ 25-20}{40-15}=0,4\: m/s^{2} {/eq}

Ejemplo 2: velocidad lineal

Planteamiento del problema: La Figura 6 es la gráfica velocidad-tiempo de una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria recta. Encuentra el siguiente:

• aceleración en t = 10 segundos
• aceleración en t = 120 segundos
• aceleración entre t = 140 y 145 segundos
• aceleración promedio durante el intervalo de tiempo de 45 y 135 segundos

Solución:

La aceleración dentro del intervalo de tiempo de un segmento lineal de la gráfica velocidad-tiempo es la pendiente de la gráfica en ese momento.

• aceleración en t = 10 segundos: Utilice los puntos finales del segmento lineal (0, 0) y (15, 2,5)

{eq}a(10) = pendiente = \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{2.5-0}{15-0}= 0.17\: m/s_{2} {/eq}

• aceleración en t = 120 segundos

La pendiente del segmento lineal es cero, por lo tanto a(120) = 0

• aceleración entre t = 140 y 145 segundos

La aceleración promedio para cualquier intervalo dentro de este segmento lineal de la gráfica velocidad-tiempo es igual a la aceleración instantánea para cualquier tiempo dentro del intervalo de tiempo. Puedes encontrar la aceleración promedio determinando las velocidades inicial y final y luego aplicando la ecuación de aceleración promedio, pero es más fácil simplemente encontrar la pendiente usando los puntos finales del segmento lineal: (135, 3.5) y (145, 2.5)

{eq}a = \bar{a}= pendiente = \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{2.5-3.5}{145-135}= -0.1\: m/s_{2} { /eq}

• aceleración promedio durante el intervalo de tiempo de 45 y 135 segundos

La velocidad inicial (en t = 45) es 1,5. La velocidad final (en t = 135) es 3,5. La aceleración promedio de 45 a 135 segundos es

{eq}\bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{f}-v_{i}}{t_{f}-t_{1}}=\frac{ 3,5-1,5}{135-45}=0,2\: m/s^{2} {/eq}

Ejemplo 3: aceleración gravitacional constante

Planteamiento del problema: La gráfica velocidad-tiempo que se muestra en la Figura 7 representa el movimiento de un objeto lanzado hacia arriba en el aire a una velocidad inicial de 70 m/s. En este caso, el sistema de referencia es una línea vertical y se asigna hacia arriba como dirección positiva. Encuentra el siguiente:

• aceleración en t = 4 segundos
• aceleración en t = 9 segundos
• aceleración promedio durante el intervalo de tiempo de 5 segundos a 9 segundos

Solución: debido a que la gráfica velocidad-tiempo es lineal, la aceleración del objeto es constante. La pendiente negativa indica que la aceleración es (hacia abajo), es decir, el objeto se desacelera mientras se mueve hacia arriba (y tiene una velocidad positiva), pero acelera a medida que cae al suelo (y tiene una velocidad negativa). Usando la Figura 7, seleccione dos puntos (0, 70) y (5, 21) y calcule la pendiente de la gráfica velocidad-tiempo.

{eq}pendiente = \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{21-70}{5-0}=-9.8\: m/s_{2} {/eq}

Como la aceleración es constante durante todo el tiempo,

• aceleración en t = 4 segundos, a(4)= {eq}-9.8\: m/s^{2} {/eq}
• aceleración en t = 9 segundos, a(9) {eq}-9.8\: m/s^{2} {/eq}
• aceleración promedio durante el intervalo de tiempo de 5 segundos a 9 segundos, {eq}\bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{f}-v_{i}}{t_ {f}-t_{1}}=\frac{-18.2-21}{9-5}=-9.8\: m/s^{2} {/eq} usando las coordenadas de los puntos inicial y final (5, 21 ) y (9-18,2).

Como se analizó anteriormente, la velocidad promedio durante la aceleración constante es igual a la velocidad instantánea en cualquier momento dentro del intervalo de tiempo de aceleración constante. En este caso, la aceleración del objeto es la aceleración (constante) de la gravedad en la Tierra, {eq}-9,8\: m/s^{2} {/eq}.

Ejemplo 4: velocidad no lineal

Si la gráfica velocidad-tiempo no es lineal, entonces la aceleración varía con el tiempo. La pendiente de una curva en un valor de dominio dado es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese valor. Una recta tangente es una recta que toca una curva en un solo punto. Podemos estimar la aceleración instantánea en un momento particular encontrando la pendiente tangente en ese momento.

Por ejemplo, un experimento en el que un resorte (con una masa adherida) se alarga, creando una fuerza en el resorte. La gráfica velocidad-tiempo de la masa se muestra en la Figura 8.

En el momento t = 0, la masa se suelta y la masa oscila desde su posición alargada a través de una posición neutral (cuando la fuerza del resorte es cero (t = 0,5 s) hasta una posición comprimida (t = 1 s) y luego regresa a través de desde una posición neutra (t = 1,5 s) hasta una posición alargada (t = 2 s). El sistema de referencia es una línea a lo largo de la trayectoria recta de la masa, y a la dirección en la que la masa se mueve inicialmente cuando está alargada se le asigna la dirección positiva.

Planteamiento del problema: Estime la aceleración instantánea de la masa a los 0,8 segundos y a los 2 segundos, utilizando la curva velocidad-tiempo de la Figura 8.

Solución: debido a que la pendiente de la curva se define como la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto, dibuje una recta tangente en t = 0,8 segundos y encuentre la pendiente.

Para aproximar una recta tangente (sin cálculo):

1. Localice el punto de la curva en el momento de interés.
2. Dibuja una línea que toque el punto ubicado y esté orientada de modo que los “ángulos” entre la curva y la tangente parezcan iguales a ambos lados del punto.

En la Figura 9 se muestra una línea tangente aproximada en t = 0,8 segundos, una vista ampliada del gráfico velocidad-tiempo. Observe que la línea tangente aproximada toca sólo el punto (0,8, 0,32) y está orientada de modo que los “ángulos” entre la tangente y la curva a cada lado del punto parecen iguales cerca del punto.

Para encontrar la pendiente de la recta tangente, seleccione dos puntos en la recta. Las coordenadas aproximadas de los dos puntos que se muestran en la Figura 9 son (0,7, 0,25) y (0,8, 0,32).

a(0.8) = {eq}pendiente = \frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{2}-v_{1}}{t_{2}-t_{1}}=\frac {0,32-0,25}{0,8-0,7}=0,7\: m/s^{2} {/eq}

La recta tangente en t = 2 es una recta horizontal (ver Figura 10) y que toca la curva en el punto (2, -0,4). Como la pendiente de una recta horizontal es cero,

a(1.5) = 0

Recuerde que la pendiente de una recta tangente aproximada es sólo una estimación de la velocidad instantánea en un punto particular. Para encontrar el valor verdadero de la aceleración instantánea a partir de una función de velocidad no lineal, encuentre la derivada temporal de la función de velocidad y evalúela en el momento de interés (como se presentó anteriormente). Sin embargo, si es aceptable una aproximación rápida de la aceleración, el método gráfico (utilizando una línea tangente aproximada) puede resultar útil.

Resumen de la lección

Se pueden utilizar diferentes métodos para encontrar la aceleración (a) a partir de la velocidad (v). El método que se aplica depende de la información proporcionada y del tiempo específico (t) durante el cual se desea la aceleración. Si la velocidad se proporciona en forma de ecuación, la aceleración se puede derivar tomando la derivada del tiempo de la velocidad ({eq}\dot{v} {/eq}).

{eq}a=\dot{v}=\frac{dv}{dt} {/eq}

La aceleración instantánea (aceleración en un momento particular en el tiempo) se calcula evaluando la función de aceleración resultante en ese momento particular.

Si en lugar de una ecuación de velocidad, se proporciona la gráfica velocidad-tiempo, la aceleración instantánea en cualquier momento es igual a la pendiente de la gráfica velocidad-tiempo en ese momento. Para un gráfico lineal de velocidad-tiempo

{eq}a {/eq} = pendiente de la gráfica velocidad-tiempo = {eq}\frac{\Delta v}{\Delta t} {/eq}

Para encontrar la aceleración a partir de la velocidad en un intervalo de tiempo más largo (es decir, más largo que un instante en el tiempo), use la fórmula de aceleración promedio

{eq}\bar{a}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v_{f}-v_{i}}{t_{f}-t_{1}} {/eq}

{eq}\bar{a} {/eq} = aceleración promedio

{eq}v_{f} {/eq} = velocidad final en el momento final {eq}t_{f} {/eq}

{eq}v_{i} {/eq} = velocidad inicial en el tiempo inicial {eq}t_{i} {/eq}