foto perfil

Cómo encontrar la ecuación de un círculo

Publicado el 1 octubre, 2020

Círculos

Si balancea una pelota unida al extremo de una cuerda sobre su cabeza como un lazo de vaquero, la pelota viaja en un círculo con su mano en el centro y la longitud de la cuerda como el radio, que puede ver en la figura siguiente. .


Figura 1.0
Definición de círculo

Podemos usar la ubicación de su mano (el centro) y la longitud de la cuerda (radio) para escribir una ecuación para la trayectoria circular de la pelota. Así es cómo.

Cuando trazamos el círculo en una cuadrícula como en la figura que acabamos de ver, con el origen (0,0) en el centro, podemos ver que cualquier punto (x, y) del círculo se puede definir dibujando una derecha. triángulo y usando el Teorema de Pitágoras, que, recuerda, es (a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2).


Figura 1.1
Ecuación del círculo unitario

El lado ‘a’ es la distancia horizontal (x); el lado ‘b’ es la distancia vertical (y); y la hipotenusa del triángulo es el radio del círculo (r). Sustituyendo estas distancias desde el círculo en el Teorema de Pitágoras, obtenemos la forma estándar de la ecuación para un círculo:

x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2


Un satélite en órbita circular está siempre a la misma distancia del centro de la Tierra.
Órbita circular http://www.aerospaceweb.org/question/spacecraft/q0164.shtml

Sin embargo, ¿qué pasa si el círculo no está centrado en el origen? ¿Qué pasa si el centro del círculo está en el punto (9,5) en lugar de (0,0)? Sin sudar, un pequeño ajuste a nuestra ecuación permitirá que el centro esté en cualquier lugar. Simplemente reste el valor xy el valor y del punto central de las variables xey en nuestra ecuación. Por ejemplo, para encontrar puntos en un círculo centrado en (9,5), reescribiríamos la ecuación como:

(x-9) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = r ^ 2

Forma estándar frente a forma general

Si asumimos un punto central genérico como (s, t), escribimos nuestra ecuación en lo que se conoce como la ecuación de forma estándar para un círculo, que, como puede ver, es (x – s) ^ 2 + (y – t) ^ 2 = r ^ 2. Con el uso de un poco de álgebra para expandir y combinar términos semejantes, podemos convertir la forma estándar en la siguiente, conocida como la forma general de la ecuación para un círculo, que, como puede ver, es:

Ecuación de círculo de forma general

En la forma general de la ecuación, los coeficientes de los términos xey, A y B, respectivamente, pueden ser cualquier número real. Tanto la forma estándar como la general de la ecuación producen un círculo cuando se grafican; la información que se le ha dado determinará qué ecuación es mejor utilizar.

Algunos ejemplos

Aquí está el ejemplo 1:

Escribe la forma estándar de la ecuación para un círculo centrado en el punto (3, 7) y un radio de 10.

Solución:

Debe insertar los valores xey y establecerlos iguales al radio al cuadrado:

(x – 3) ^ 2 + (y – 7) ^ 2 = 10 ^ 2 ===> (x – 3) ^ 2 + (y – 7) ^ 2 = 100

Y convierta la ecuación en forma estándar a la forma general de la siguiente manera.

Primero expandimos:

(x – 3) ^ 2 + (y – 7) ^ 2 = 100 ===> x ^ 2 – 6x + 9 + y ^ 2-14y + 49 = 100

Luego reorganizamos los términos:

x ^ 2 + y ^ 2-6x -14y + 9 +49 = 100 ===> x ^ 2 + y ^ 2-6x -14y + 58 = 100

Y luego lo ponemos igual a cero:

x ^ 2 + y ^ 2-6x -14y + 58-100 = 100-100 ===> x ^ 2 + y ^ 2-6x -14y – 42 = 0

Aquí está el ejemplo 2:

¿Cuál es el radio y el punto central del círculo en la siguiente figura? Primero escribimos la ecuación del círculo en forma general.


Figura 1.2
Ejemplo de círculo gráfico

Solución:

radio = 5

punto central = (3, -4)

Para escribir la ecuación de este círculo en forma general, primero escribimos la forma estándar de la ecuación, que es:

(x – 3) ^ 2 + (y + 4) ^ 2 = 25

Expande la ecuación y combina términos semejantes.

Expandir:

(x – 3) ^ 2 y (y + 4) ^ 2

x ^ 2 – 6x +9 + y ^ 2 + 8y + 16 = 25

Ahora arregla los términos:

x ^ 2 + y ^ 2 – 6x + 8y + 25 = 25

Y poner igual a cero:

x ^ 2 + y ^ 2-6x + 8y + 25-25 = 25-25 ===> x ^ 2 + y ^ 2-6x + 8y = 0

Ahora aquí está el ejemplo 3:

¿Cuál es el radio y el punto central del círculo en la figura de la pantalla a continuación? Escribe la ecuación de este círculo en forma general.

gráfico de círculo ejemplo

Solución:

radio = 3

punto central = (-4, 2)

Para escribir la ecuación de este círculo en forma general, primero escribimos la forma estándar de la ecuación, que es: (x + 4) ^ 2 + (y – 2) ^ 2 = 9

Expande la ecuación y combina términos semejantes.

Expandir:

(x + 4) ^ 2 y (y – 2) ^ 2

x ^ 2 + 8x +16 + y ^ 2 – 4y + 4 = 9

Ahora arregla los términos:

x ^ 2 + y ^ 2 + 8x – 4y + 16 + 4 = 9 ===> x ^ 2 + y ^ 2 + 8x – 4y + 20 = 9

Y poner igual a cero:

x ^ 2 + y ^ 2 + 8x – 4y + 20 – 9 = 9 – 9 ===> x ^ 2 + y ^ 2 + 8x – 4y + 11 = 0

Finalmente, veamos el Ejemplo 4:

Convierta la siguiente ecuación para un círculo de forma general a forma estándar:

x ^ 2 + y ^ 2 – 6x – 12y + 29 = 0

Solución:

Agrupe los términos xey juntos. Mueve la constante al otro lado de la ecuación.

x ^ 2 – 6x + y ^ 2 – 12y + 29 – 29 = 0 – 29 ===> x ^ 2 – 6x + y ^ 2 – 12y = -29

Completa los cuadrados, sumando valores a ambos lados de la ecuación.

(x ^ 2 – 6x + 9) + (y ^ 2 – 12y + 36) = -29 + 9 + 36

(x ^ 2 – 6x + 9) + (y ^ 2 – 12y + 36) = 16

Ahora, factor:

(x – 3) ^ 2 + (y – 6) ^ 2 = 16

Y, usando la definición de forma estándar de un círculo, (x – s) ^ 2 + (y – t) ^ 2 = r ^ 2, sabemos:

Punto central = (3, 6)

Radio = sqrt (16) = 4

Resumen de la lección

Dediquemos unos minutos a repasar lo que hemos aprendido sobre cómo encontrar la ecuación de un círculo. Cuando muchos puntos se organizan de modo que todos estén a la misma distancia (radio) de un solo punto (centro) en todas las direcciones, esos puntos forman un círculo. Hay dos ecuaciones comunes para describir un círculo:

  1. La forma estándar , fácil de formular si ya conoce el punto central y el radio.
  2. La forma general , igual a cero. La forma general es, si recuerdas, x ^ 2 + y ^ 2 + Ax + By + C = 0.

Usando técnicas algebraicas de factorizar y completar los cuadrados, puede convertir entre las dos formas.

CERN - Gran Colisionador de Hadrones

Aquí hay una imagen de un círculo muy grande operado por la organización científica CERN. El Gran Colisionador de Hadrones (LHC) resaltado en amarillo en esta imagen en su pantalla se construyó a cientos de pies por debajo de la frontera de Francia y Suiza cerca de Ginebra. Este colisionador de partículas está compuesto por más de 1.600 imanes superconductores, todos ubicados a 2.67 millas de su centro, formando un círculo de 5.34 millas de diámetro. Si imaginamos el centro de LHC en el origen (0,0), la ecuación para este círculo en forma estándar es:

x ^ 2 + y ^ 2 = (2.67) ^ 2

Articulos relacionados