Cómo encontrar y clasificar una secuencia aritmética

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La secuencia aritmética de los asientos del estadio

Una secuencia es solo un patrón y una secuencia aritmética es aquella que se genera mediante la suma repetida. Entonces, cada término en la secuencia se crea agregando lo mismo al último, una y otra vez. Por ejemplo, podríamos obtener la secuencia aritmética finita 11, 13, 15, 17, 19 simplemente comenzando con 11 y sumando 2 cuatro veces. O tal vez podríamos comenzar con 30 y agregar repetidamente -10 para obtener la secuencia aritmética infinita 30, 20, 10, 0, -10… y así sucesivamente.

Ahora bien, resulta que en realidad vemos estos patrones en muchos lugares. Tome un auditorio, por ejemplo; no caben muchos asientos en la primera fila porque el escenario es bastante pequeño, pero a medida que retrocede, cada fila de asientos tiene más y más asientos porque hay más espacio. Imaginemos un cine donde hay 35 asientos en la primera fila y 4 asientos más en cada fila detrás. Eso haría 39 en la segunda fila, 43 en la tercera fila, 47 en la cuarta fila, 51 en la quinta fila y así sucesivamente.


La regla aritmética para sucesiones aritméticas
Regla aritmética para secuencias aritméticas

Describir esta secuencia en palabras es suficiente por ahora y puede ayudarnos a responder preguntas como, ¿cuántos asientos hay en la décima fila? Bueno, está bien, veamos, si podemos continuar con el patrón, eso significaría que hay 55 en el sexto, 59 en el séptimo, luego 63 en el octavo, 67 … finalmente, 71 asientos en la décima fila.

Pero si resulta que estamos en el estadio de la Universidad de Michigan, que tiene cerca de 100 filas de asientos, ¿las palabras y el patrón realmente nos ayudarían a averiguar cuántos asientos había en la fila 91? No tanto. Esto no solo sería increíblemente tedioso, sino que también existe una buena posibilidad de que terminemos cometiendo un pequeño error y nuestra respuesta se desvíe por unos pocos asientos.

Lo que realmente necesitamos es una fórmula en la que podamos conectar 91 y nos dirá exactamente cuántos asientos hay en esa fila para nosotros. La forma en que podemos hacer eso es notando que una secuencia aritmética es realmente una relación lineal . Nuestro ejemplo actual, 35, 39, 43, 47 … esto es lineal porque aumenta en la misma cantidad en cada paso, en este caso, 4.

Crear la fórmula de una secuencia aritmética

Si fuéramos a escribir esto como una ecuación lineal, probablemente terminaríamos usando la forma pendiente-intersección: y = mx + b . Recuerde que m nos dice la pendiente, o cuánto se mueve, y b es la intersección y , o dónde comienza cuando x es igual a 0.

Estas dos cosas son bastante sencillas de encontrar en nuestro patrón; la pendiente en este caso (cuánto se mueve) es simplemente 4. Seguimos sumando 4 cada vez, así que en nuestra ecuación donde vemos m , colocamos un 4. La b (donde comienza o la intersección y ), es un poco más complicado porque tienes que darte cuenta de que aquí es donde x es igual a 0, y nuestro primer término es exactamente eso: el primer término, un 1. Necesitamos un 0, lo que significa que tenemos que retroceder una entrada; para ir hacia atrás no sumamos 4, sino que restamos 4. Parece que si hubiera una fila más cerca tendría 31 asientos, lo que significa mi valor b – my y-intercepto – es 31. Obtengo la ecuación y = 4 x +31.


Las dos fórmulas para sucesiones aritméticas
Fórmulas de secuencia aritmética

Ahora que estamos tratando esto como una secuencia, mientras que nuestra regla seguirá siendo la misma, usaremos letras diferentes para escribir la regla. En el lugar de Y , vamos a poner un subíndice n , que se presentará a la n º plazo, y en lugar de x Pondremos n . Entonces, si quiero el duodécimo término, puedo conectar 12 por n .

Dos fórmulas estándar de secuencias aritméticas

Esto nos lleva de la regla para el n º fila de nuestro estadio como un = 4 n 31. Todas las operaciones de cálculo se verá algo como esto y que será una = dn + un 0. El un 0 representa, obviamente, el valor de inicio, algo así como la B o la Y interceptación, y d (lo que antes se llamaba la pendiente) ahora se llamará diferencia común porque cada término en nuestra secuencia tiene una diferencia común entre ellos.

Ahora bien, hay otra forma de escribir esta fórmula que ves a menudo. En lugar de decir an = dn + a 0, también puedes decir an = d ( n -1) + a 1. Esto lo hace un poco más fácil porque no tienes que trabajar hacia atrás para encontrar un 0, pero encuentro que es más fácil recordar el que tiene un 0 porque es muy similar al mx + b . Para mí tiene más sentido, pero puedes usar el segundo y muchos libros de texto en otras clases usarán este. Como ejemplo, si escribiéramos la fórmula de la n- ésima fila de esta manera, sería un= 4 ( n -1) +35.


El 6 representa la diferencia común en esta secuencia aritmética.
patrón de problema de secuencia aritmética

Bien, ahora que tenemos la regla para cualquier fila de nuestro estadio que queramos, encontrar la fila 91 es realmente fácil; ya no tenemos que hacer esa lista, todo lo que tenemos que hacer es tomar nuestra regla y en lugar de querer la fila n , queremos la fila 91. Esto significa que donde solía estar n en nuestra ecuación, colocamos 91. Hago 4 veces 91, obtengo 364, agrego 31 y resulta que la fila 91 en el Michigan Stadium tendría 395 asientos.

Encontrar una secuencia aritmética usando términos

Una vez que tengamos muy buena, incluso podemos llegar a la regla para el n º término simplemente dados dos términos aleatorios de una secuencia. Digamos que el quinto término es 22 y el duodécimo término es 64. Si nos preguntan por la regla de la nEn el trimestre, me gusta dibujar lo que sabemos para tener una idea visual de lo que estoy viendo. No conozco el primer término o el segundo término o el tercer término o el cuarto, pero sí sé que el quinto es 22; No sé el sexto, el séptimo … pero sí sé que el duodécimo es 64. Entonces, debido a que esta es una secuencia aritmética, subimos en la misma cantidad en cada paso, y aparentemente en 7 pasos, pasando de del quinto al duodécimo, subo 42 puntos. Eso significa que puedo hacer un problema de división rápida para decirme que si me toma 7 pasos subir 42, debo subir 6 en cada paso, lo que marcaría mi diferencia común 6. Podemos verificar esto muy rápido con solo completar en nuestro gráfico: 28, 34, 40, 46, 52, 58 y, efectivamente, 64. Así que estamos bien.


Ir hacia atrás desde 22 le permite encontrar el valor inicial en la fórmula
Problema de secuencia aritmética Patrón inverso

La única otra cosa que necesito de mi regla es mi valor inicial, el a 0. Simplemente puedo encontrar esto trabajando hacia atrás; en lugar de sumar 6, ir hacia atrás significaría restar 6. Así que retroceda 6 de nuevo, de nuevo, de nuevo, de nuevo, y termino de nuevo en -8 como un 0. También puedo hacer un atajo y decir que voy a retroceder 5 pasos . Retroceder 5 pasos significaría un retroceso total de -30; si retrocedo -30 desde 22, de nuevo, termino de nuevo en -8. Por lo tanto, nuestra regla para el n- ésimo término es an = 6 d -8. O, usando la forma alternativa con un 1 en lugar de 0, solo retrocedería 4 pasos, y por lo tanto nuestra regla sería an = 6 ( n -1) -2.

Resumen de la lección

Para repasar: las fórmulas aritméticas son patrones generados por sumas repetidas y son similares a las ecuaciones lineales. Debido a que son similares a las ecuaciones lineales, la regla es muy similar a y = mx + b y es un = nd + un 0, donde d es la diferencia común. Esta regla puede ayudarnos a sacar conclusiones sobre términos que están lejos del comienzo de la secuencia.