Cómo escribir una matriz aumentada para un sistema lineal

Un sistema lineal

En esta lección en video, hablamos sobre el sistema lineal , una colección de ecuaciones lineales. Recuerda que una ecuación lineal es una ecuación de grado uno con solo dos variables, generalmente x e y . Nuestro sistema, entonces, es una colección de dos o más de estas ecuaciones lineales. Por lo general, vemos nuestros sistemas lineales escritos como una lista de ecuaciones con un corchete delante de ellos, así:

Esta es la forma más común en la que verá escritos los sistemas lineales. Observe que tenemos nuestros términos x primero, seguidos por nuestros términos y , luego un signo igual y finalmente nuestra constante.

Una matriz aumentada

La otra forma en la que podemos escribir nuestros sistemas lineales se llama matriz aumentada , que es una combinación de dos matrices. Si observa solo los coeficientes de nuestro sistema lineal junto con su signo, entonces puede dividir nuestro sistema lineal en una matriz en el lado izquierdo de la ecuación y otra matriz en el otro lado de la ecuación. La combinación de estas dos matrices nos da nuestra matriz aumentada. Usamos una línea vertical para notar dónde está nuestro signo igual que divide la matriz. Entonces nuestra matriz aumentada se ve así:

Solo tenemos nuestros coeficientes listados. Nuestros coeficientes están organizados en sus columnas apropiadas. Todos los coeficientes del término x están en la primera columna, todos los coeficientes del término y están en la segunda columna y todas nuestras constantes están en la columna final. Las líneas verticales le muestran dónde está el signo igual. Podemos escribir fácilmente nuestras ecuaciones lineales directamente encima de nuestros números de matriz, y puede ver cómo los números se alinean muy bien entre sí:

Las ecuaciones lineales se alinean con los números de la matriz.

Ejemplo 1

Escribir una matriz aumentada a partir de un sistema lineal es fácil. Primero, organiza tus ecuaciones lineales para que tus términos x sean primero, seguidos de tus términos y , luego tu signo igual y finalmente tu constante. Una vez que tenga todas sus ecuaciones en este formato, todo lo que necesita para convertirlas en una matriz aumentada es escribir sus coeficientes junto con su signo positivo o negativo. Para el signo igual, usa una línea vertical.

Veamos cómo convertir este sistema lineal en una matriz aumentada.

Primero nos aseguramos de que todas nuestras ecuaciones estén organizadas de modo que los términos x sean primero, seguidos por los términos y , el signo igual y luego la constante. Miramos nuestras ecuaciones y vemos que ya están en este formato. Ahora podemos seguir adelante y aislar todos los coeficientes. Para la primera fila, tenemos 7, -8 y 1. La segunda fila tenemos -4, 3 y 0. La tercera fila, tenemos 0, 4 y 9. Primero tenemos 0 porque no hay x término, entonces el número es 0. Ahora podemos poner todos estos números en orden en nuestra matriz aumentada usando una línea vertical para el signo igual.

¡Y hemos terminado!

Ejemplo 2

Probemos con otro. Escribamos este sistema lineal en una matriz aumentada.

Al observar nuestras ecuaciones, vemos que necesitamos reescribir nuestra segunda ecuación para que el término x sea ​​lo primero. Lo reescribimos a 3 x + 2 y = 4. Ahora podemos aislar los coeficientes. La primera fila tiene 1, -1 y 2. La segunda fila tiene 2, 3 y 4. Al conectarlos a nuestra matriz aumentada, obtenemos esto:

¡Y hemos terminado!

Resumen de la lección

Es bastante fácil y sencillo convertir un sistema lineal en una matriz aumentada. Repasemos lo que hemos aprendido. Hemos aprendido que un sistema lineal es una colección de ecuaciones lineales. Una ecuación lineal es una ecuación con dos coeficientes y sin exponentes. Un sistema tendrá al menos dos ecuaciones.

Una matriz aumentada es una combinación de dos matrices, y es otra forma en que podemos escribir nuestro sistema lineal. Cuando se escribe de esta manera, a veces es más fácil trabajar con el sistema lineal. Para escribir nuestro sistema lineal en forma de matriz aumentada, primero nos aseguramos de que nuestras ecuaciones estén escritas con el término x primero, seguido del término y , luego el signo igual y finalmente la constante. Luego aislamos nuestros coeficientes junto con sus signos y los colocamos en forma de matriz en el orden en que aparecen, fila por fila. Usamos una línea vertical para representar el signo igual.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, podrá:

• Definir sistema lineal y matriz aumentada
• Explica cómo convertir un sistema lineal en una forma matricial aumentada.