Cómo graficar cúbicas, cuarticas, quínticas y más

Revisar gráficos básicos

En esta lección, veremos cómo graficar varias ecuaciones que contienen diferentes valores exponenciales. Comencemos revisando las gráficas de y = x ^ 2, y = x ^ 4 e y = x ^ 6. Observamos que las gráficas con coeficientes iniciales positivos e incluso exponentes tienen un comportamiento final, es decir, los extremos de sus gráficas suben hacia la izquierda y hacia la derecha.

A continuación, veamos lo que sucede cuando nuestras gráficas tienen coeficientes negativos al frente. En esta pantalla, vemos las gráficas de y = – x ^ 2, y = – x ^ 4 e y = – x ^ 6. Si el coeficiente principal es negativo, su comportamiento final es opuesto, por lo que bajará a la izquierda y bajará a la derecha.

Continuemos nuestra revisión con exponentes impares. Aquí puede ver las gráficas de y = x ^ 3, y = x ^ 5 e y = x ^ 7. Observamos que las gráficas con coeficientes iniciales positivos y exponentes impares tienen un comportamiento final que desciende hacia la izquierda y sube hacia la derecha. Cuando agregamos un signo negativo delante de nuestro coeficiente principal, vemos que nuestras gráficas cambian. Si el coeficiente principal es negativo, su comportamiento final sube a la izquierda y baja a la derecha.

Máximos y mínimos locales

Las gráficas anteriores eran todas formas simples de un proceso de representación gráfica más complejo. La mayoría de los gráficos que veremos tienen un montón de colinas y valles llamados máximos locales y mínimos locales . Para graficar una ecuación que sea más compleja, necesitaremos saber dónde ocurren las colinas y los valles. Un máximo local relativo es el aumento más alto en un gráfico; podemos pensar en esto como una colina. Un mínimo local relativo es el aumento más bajo en el gráfico; podemos pensar en esto como un valle.

Veamos cómo se ven este tipo de gráficos. Veamos la gráfica de y = x ^ 3 + 3 x ^ 2 – 16 x – 48. Como puede ver, la protuberancia más alta en la gráfica es nuestro máximo local o colina. No es nuestro punto máximo porque el gráfico sube hasta el infinito al final de nuestro gráfico aquí. Entonces es nuestro máximo local . También podemos notar el mínimo local , o el valle. El mínimo no es un mínimo absoluto porque el gráfico desciende al infinito negativo aquí.

Esta ecuación también nos puede dar consejos sobre cuántos bultos podríamos encontrar en el gráfico. Para calcular cuántos baches tendrá cualquier ecuación, tomamos el grado de la ecuación y restamos uno. El grado de la ecuación es el valor exponencial más grande encontrado en la ecuación.

Pregunta de prueba de muestra sobre la representación gráfica de polinomios

Veamos la ecuación y = x ^ 3 + 3 x ^ 2 – 16 x – 48. El grado de esta ecuación es 3. Para averiguar cuántos saltos podemos encontrar, tomamos el grado de la ecuación y restamos uno: 3 – 1 = 2. Entonces, como máximo, encontraríamos dos protuberancias en nuestro gráfico. Ahora estamos listos para comenzar la parte divertida: graficar sin calculadora usando lo que sabemos sobre graficar polinomios. En una prueba de opción múltiple, no vamos a graficar literalmente la ecuación; vamos a elegir la respuesta que muestra la gráfica. Con lo que hemos aprendido, esto debería ser bastante fácil.

Pregunta de prueba de muestra

Veamos una pregunta de prueba de muestra. ¿Qué gráfica representa la ecuación y = x ^ 3 – 10 x ^ 2 – 11 x + 180? Al observar estas cuatro opciones de opción múltiple, usemos lo que sabemos sobre la representación gráfica de polinomios para seleccionar la respuesta correcta. Para comenzar, grafiquemos lo que sabemos sobre esta ecuación en un plano cartesiano en blanco .

Sabemos que nuestra gráfica bajará a la izquierda y subirá a la derecha porque el coeficiente principal, 1, es positivo y su potencia exponencial de 3 es impar. La opción de respuesta B se puede eliminar porque sube a la izquierda y baja a la derecha.

Evalúe la ecuación para x = 0 para encontrar la intersección en y

También podemos determinar que habrá dos protuberancias en el gráfico porque la potencia en grados de la ecuación es 3. Para calcular el número de protuberancias, recuerde que restamos la potencia en grados de la ecuación menos 1. Entonces, 3 – 1 = 2 protuberancias . Entonces, el número máximo de golpes que encontraremos en esta ecuación será dos. Entonces, de inmediato podemos cancelar cualquier gráfico que tenga más de dos protuberancias. Podemos cancelar el gráfico A porque tiene más de dos protuberancias.

Ahora nos quedan dos opciones de respuesta: C y D. La siguiente forma en que podemos determinar qué gráfica coincide con la ecuación es encontrar la intersección con el eje y. Para encontrar la intersección con el eje y, necesitaremos evaluar la ecuación para x = 0.

Comenzando con nuestra ecuación, y = x ^ 3 – 10 x ^ 2 – 11 x + 180, reemplazaremos un cero por cada valor de x que veamos. Ahora nuestra ecuación se ve así y = (0) ^ 3 – 10 (0) ^ 2 – 11 (0) + 180. Para resolver esta ecuación, primero haremos nuestros exponentes. Cero elevado a cualquier exponente es cero. Nuestra ecuación ahora se ve así y = 0 – 10 (0) – 11 (0) + 180. Luego, necesitamos hacer toda la multiplicación. Nuevamente, cualquier número multiplicado por cero es igual a cero. Nuestros simplifica ecuación para y = 180. Por lo tanto nuestra ordenada en el origen de esta ecuación es (0, 180).

Parece que las gráficas de las opciones de respuesta C y D cruzan el eje y en (0, 180). La intersección con el eje y no nos ayuda en este caso a elegir nuestra respuesta correcta. Grafiquemos algunos otros puntos que podemos encontrar en un plano cartesiano en blanco para ver qué gráfico coincide mejor con la respuesta correcta.

Si nuestras ecuaciones fueran fáciles de factorizar, podríamos encontrar las intersecciones con el eje x. Desafortunadamente, no tenemos tanta suerte con esta ecuación. Entonces, vamos a trazar algunos puntos para ver cómo se ve en el medio o entre los extremos del gráfico. Los puntos fáciles que probaría con prácticamente cualquier ecuación serían cuando x = -1 y 1. Ya sabemos que cuando x = 0 esa es nuestra intersección con el eje y.

Después de calcular nuestra ecuación, el punto y en la gráfica será 180.

Primero, despejemos x = -1. Para hacerlo, evaluaremos nuestra ecuación reemplazando -1 para todos los valores de x . Nuestra ecuación fue y = x ^ 3 – 10 x ^ 2 – 11 x + 180. Cuando conectamos nuestros valores -1 para x , se convierte en y = (-1) ^ 3 – 10 (-1) ^ 2 – 11 (-1) + 180. Para trabajar esta ecuación, necesitaremos calcular todos los exponentes, haciendo que nuestra ecuación y = -1 – 10 (1) – 11 (-1) + 180. Luego, simplemente necesitamos multiplicar nuestra ecuación, así que ahora obtenemos y = -1 – 10 + 11 + 180. Después de sumar, nuestra solución será y= 180. Entonces, este par ordenado es (-1, 180). Podemos ver que este punto en la gráfica estaría al lado de nuestra intersección con el eje y.

Ahora podemos ver que tenemos dos pares de coordenadas en nuestra tabla: (-1,180) y (0,180). Luego, evaluemos la ecuación para x = 1. Cuando dejamos x = 1, reemplazamos 1 para todos los valores de x . Nuestra ecuación ahora se ve así y = (1) ^ 3 – 10 (1) ^ 2 – 11 (1) + 180. Necesitamos resolver esta ecuación de la misma manera – primero completando los exponentes y luego multiplicando.

Después de completar los exponentes, nuestra ecuación se ve así y = 1 – 10 (1) – 11 (1) + 180. Luego, después de multiplicar, terminamos con y = 1 – 10 – 11 + 180. Después de sumar, la solución a esto la ecuación será y = 160. Entonces, este par ordenado es (1, 160). Al graficar ese punto, podemos ver que este punto estará a la derecha y debajo de nuestra intersección con el eje y.

Ahora tenemos tres pares de coordenadas: (-1, 180), (0, 180) y (1, 160). Al conocer estos tres pares ordenados , ahora podemos verificar nuestras opciones de respuesta para ver si podemos eliminar cualquiera de nuestras opciones restantes. En este punto, podemos ver que el gráfico C no es nuestro gráfico, por lo que el gráfico que coincide con la ecuación sería la opción de respuesta D.

La respuesta C se puede eliminar si se sabe cuáles son los tres pares de coordenadas.

Dibujar para la clase

Para hacer un bosquejo para una clase, seguirá exactamente las mismas ideas que discutimos aquí. Cuantos más puntos grafique, mejor imagen verá de su gráfico. A menudo, necesitará trazar un par de puntos más a lo largo del gráfico. Si después de haber trazado un par de puntos y aún no está seguro, siga trazando hasta que se sienta cómodo de saber exactamente en qué gráfico se verá.

Resumen de la lección

En resumen, a continuación se muestra una lista de pasos que le serán útiles al graficar polinomios:

1. Determine el comportamiento final del gráfico observando el coeficiente de adelanto.
2. Grafica la intersección con el eje y colocando cero (0) para los valores de x .
3. Si puede factorizar el polinomio, hágalo; serán sus intersecciones x, pero no todos los polinomios se factorizarán bien.
4. Recuerde graficar puntos donde x = -1 y x = 1. Estos puntos le ayudarán a determinar dónde trazar más puntos, como en nuestro ejemplo (cuando decidimos trazar más puntos a la derecha del origen), en algunos casos, deberá trazar a la izquierda del origen.
5. Si aún no está seguro del boceto, siga trazando más puntos. Cuantos más puntos trace, más preciso será su respuesta.

Resultado de aprendizaje

Después de ver este video, los estudiantes deberían poder graficar polinomios verificando el coeficiente de adelanto, resolviendo la intersección con el eje y y / o trazando más puntos.