Cómo los cambios en la dimensión afectan la superficie y el volumen

¿Qué son la superficie y el volumen?

Imagina que tienes una jarra de agua y quieres llenarla por completo. ¿Cuánta agua retendrá? Si su jarra tiene forma de cilindro, será bastante fácil averiguarlo antes de poner una sola gota de agua en la jarra. La cantidad total de espacio dentro de un objeto como su jarra se llama volumen .

¿Qué pasa si ahora decide que quiere pintar el exterior de la jarra de un color diferente? ¿Cuánta pintura necesitaría usar para cubrir toda la superficie exterior de la jarra? El área de la superficie de un objeto se llama área de superficie .

Para formas geométricas simples como esferas, cilindros y prismas, es bastante fácil calcular tanto el volumen como el área de superficie, como puede ver con estas fórmulas y sus imágenes.

Definiciones de área de superficie y volumen para una esfera, cilindro y prisma rectangular.

A medida que el objeto se agranda, tiene sentido que tanto el área de la superficie como el volumen también lo hagan. Sin embargo, ¿puedes adivinar cuál crecerá más rápido? Por ejemplo, si duplica el radio de una esfera, ¿se duplicará también el volumen? ¿Qué pasa con el área de la superficie? ¿Cuál aumentará más o aumentará la misma cantidad? Veamos algunos ejemplos y veamos si podemos encontrar algunas reglas generales sobre cómo los cambios en las dimensiones afectarán el área de la superficie y el volumen de un objeto.

Superficie y volumen de esferas

¿Cuánto cambiaría el volumen de una esfera si duplicaras el radio? ¿También se duplicaría?

Calculemos el volumen de dos esferas, una con un radio de 1 metro y la otra con un radio de 2 metros, y veamos cómo se comparan los volúmenes.

Como puede ver, para el primero usamos la fórmula 4 / 3π r ^ 3 y, después de enchufar 1 metro, obtenemos un volumen de 4.19 metros cúbicos. Y con el segundo, obtenemos 33,51 metros cúbicos. Entonces, por lo tanto, el volumen de la segunda esfera es igual a ocho volúmenes de la primera esfera.

¡Guauu! Cuando se duplicó el radio de la esfera, su volumen aumentó ocho veces. ¿Fue más de lo que esperaba? El volumen aumentó tanto porque el radio se elevó a la tercera potencia. Esto hace que el volumen aumente mucho más rápido que el radio. Incluso pequeños cambios de radio pueden provocar grandes cambios de volumen.

¿Ocurre lo mismo con la superficie? Calculemos el área de superficie de las dos esferas y veamos qué sucede.

Como podemos ver, después de insertar los valores en la fórmula, 4π r ^ 2, obtenemos 12.57 metros cuadrados para la esfera uno y 50.27 metros cuadrados para la esfera dos, haciendo que la esfera dos sea igual a cuatro esferas. El área de superficie aumentó cuando el radio se duplicó, pero no tanto como el volumen. ¿Puedes adivinar por qué sucedió eso?

En este caso, el radio se eleva al cuadrado y, al calcular el volumen, se eleva a la tercera potencia. Como puede ver, ¡esto marca una gran diferencia! Tanto la superficie como el volumen aumentaron cuando se duplicó el radio, pero el volumen aumentó mucho más.

Área de superficie y volumen de cilindros

¿Existe la misma relación para los cilindros? A diferencia de las esferas, los cilindros tienen dos dimensiones que pueden cambiar: radio y altura. Es probable que cambiar cualquiera de estos también cambie el área de superficie y el volumen, por lo que esta vez, necesitamos cambiar solo uno a la vez y ver qué sucede. Primero, comencemos con un cilindro con un radio de 1 metro y una altura de 1 metro. ¿Cómo cambiarían el área de la superficie y el volumen si no se cambiara la altura, pero el radio se duplicara a 2 metros?

Como podemos ver, la superficie del primer cilindro es de 12,57 metros cuadrados y la del segundo cilindro es de 37,70 metros cuadrados, mientras que el volumen del primer cilindro es de 3,14 metros cúbicos y el volumen del segundo cilindro es de 12,57 metros cúbicos. Al igual que vimos para la esfera, tanto el área de la superficie como el volumen aumentaron cuando el radio se duplicó y el volumen aumentó más que el área de la superficie. Sin embargo, ninguno aumentó tanto como lo hizo para la esfera.

Ahora, ¿qué hay de cambiar la altura? Regresemos a un radio de 1 metro y veamos qué pasa con la superficie y el volumen cuando se duplica la altura, pasando de 1 metro a 2 metros.

Como podemos ver, la superficie del primer cilindro es de 12,57 metros cuadrados y la del segundo cilindro es de 18,85 metros cuadrados. El volumen del primer cilindro es, nuevamente, 3,14 metros cúbicos y el volumen del segundo cilindro es 6,28 metros cúbicos. Entonces, una vez más, ambos han aumentado y el volumen ha aumentado más que la superficie. Sin embargo, está bastante claro que el radio tuvo un efecto mayor tanto en el área de la superficie como en el volumen de un cilindro que la altura.

Área de superficie y volumen de prismas

A continuación, veamos cómo el cambio de dimensiones de un prisma rectangular afecta el área de la superficie y el volumen del prisma. Comencemos con un prisma en el que todos los lados tengan una longitud de 1 metro y luego veamos qué sucede cuando aumentamos la longitud de cada lado a 2 metros.

Como podemos ver, el área de superficie del prisma uno es de 6 metros cuadrados y el del prisma dos es de 24 metros cuadrados, mientras que el volumen del prisma uno es de 1 metro al cubo y el del prisma dos es de 8 metros al cubo. Entonces, al igual que para la esfera y el cilindro, cuando las dimensiones cambian, el volumen cambia más que el área de la superficie.

Superficie y volumen de las pirámides

Finalmente, veremos cómo el área de la superficie y el volumen de una pirámide pueden verse influenciados cambiando las dimensiones.

Una vez más, comenzaremos calculando el área de superficie y el volumen de una pirámide en la que todas las dimensiones (largo, ancho y alto) son iguales a 1 metro, y luego compararemos esos valores con los calculados cuando las dimensiones son iguales a 2 metros. .

Como podemos ver, la superficie de la pirámide uno es de 4,24 metros cuadrados y la superficie de la pirámide dos es de 12,94 metros cuadrados. Y el volumen de la pirámide uno es 0.33 metros cúbicos y el volumen de la pirámide dos es 2.67 metros cúbicos. En este punto, probablemente no se sorprenda al ver que la tendencia que vimos para las otras formas continúa para una pirámide. Tanto la superficie como el volumen aumentaron, pero el volumen aumentó mucho más.

Resumen de la lección

Muy bien, tomemos un momento para revisar lo que hemos aprendido. Como aprendimos, la cantidad total de espacio dentro de un objeto se llama volumen , mientras que el área total de la superficie de un objeto se llama área de superficie . El área de superficie y el volumen se pueden calcular fácilmente para formas geométricas simples como esferas, cilindros y prismas rectangulares. Cuando cambian las dimensiones de la forma, como el radio, la altura o la longitud, también cambian tanto el área de la superficie como el volumen. Sin embargo, el volumen del objeto siempre cambia más que el área de la superficie para el mismo cambio de dimensiones.