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Cómo modelar las tasas de cambio

Publicado el 24 noviembre, 2020

Cómo modelar las tasas de cambio

Existe una discusión sobre quién creó el cálculo para el estudio matemático del cambio. El consenso es que el cálculo fue desarrollado de forma independiente por dos personas separadas al mismo tiempo (siendo una Newton). También se puede argumentar que Newton lo desarrolló originalmente para modelar fenómenos celestiales. Por supuesto, pronto se aplicaría a una plétora de otros fenómenos naturales. Modelar tasas de cambio con cálculo es una parte integral (sin juego de palabras) de la física . Sin embargo, debemos tener en cuenta que el uso de la diferenciación se puede ver en conceptos de química, biología y economía. Veamos algunas de las aplicaciones de los derivados en contextos amplios.

Aplicaciones de la física

Muchos estudios de física aplican derivados. Por ejemplo, uno de esos estudios físicos implica tasas de cambio en el movimiento. Al estudiar el movimiento, vemos conceptos tales como desplazamiento, velocidad y aceleración . Estos conceptos están representados por un conjunto de ecuaciones diferenciales. Veamos cada uno con más profundidad.

Desplazamiento

El desplazamiento vertical de un objeto es una distancia a lo largo del eje y desde y1 = 0 hasta y2 (y2-y1) representado por Δ y. El desplazamiento de un objeto en función del tiempo se puede representar gráficamente (el eje x representa el tiempo-t):

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Suponga que se nos da Δ y = t 3 + t 2 + t + 1 para representar el desplazamiento vertical de un objeto durante un período. ¿Cuál sería su velocidad correspondiente?

Velocidad

La velocidad (v) de un objeto es una medida del desplazamiento de un objeto a lo largo de un tiempo dado, representado por un cambio en y (Δ y) sobre un cambio en t (Δ t). En otras palabras, v = Δy / Δ t. La velocidad (v) es la primera derivada (dy / dt) del desplazamiento; por lo tanto, la velocidad de un objeto con el desplazamiento de y = t 3 + t 2 + t + 1 es v = 3t 2 + 2t 2 + 1. La velocidad se puede representar gráficamente, superpuesta a su ecuación de desplazamiento principal.

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Velocidad instantánea

La velocidad instantánea , está representada por la pendiente de la línea tangente a la curva de desplazamiento en un instante -representado por un punto específico- en la curva de desplazamiento.

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Si el desplazamiento de un objeto está representado por y = t 3 + t 2 + t + 1 y la velocidad está representada por v = 3t 2 + 2t 2 + 1, ¿cuál es la aceleración (a) de dicho objeto?

Aceleración

La aceleración de un objeto es una medida del cambio en la velocidad de un objeto (Δ v) durante un cambio en el tiempo (Δ t). En otras palabras, a = (Δ v / Δ t). La aceleración es la segunda derivada (d 2 y / dt) del desplazamiento; por lo tanto, si la aceleración de un objeto con su desplazamiento representado por y = t 3 + t 2 + t + 1 y una velocidad representada por v = 3t 2 + 2t 2 + 1, es: a = 6x + 2. La aceleración está representada gráficamente, superpuesto a sus respectivas ecuaciones de desplazamiento y velocidad padre.

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Al observar el gráfico, se pueden sacar algunas conclusiones sobre el movimiento de este objeto. Como el desplazamiento es negativo, la velocidad disminuye. Como el desplazamiento es positivo, la velocidad aumenta. En general, la aceleración está aumentando positivamente. Observe que tiene una pendiente positiva. Como la aceleración es cada vez mayor, el desplazamiento también aumenta.

Aceleración instantánea

La aceleración instantánea , análoga a la velocidad instantánea, es la pendiente de la línea tangente a la curva de velocidad en un instante o punto de la curva de velocidad.

Conceptos de tasa de cambio en biología y química

Tasa de cambio, tasa de crecimiento de bacterias

La física no es la única área que aplica tasas de cambio. Por ejemplo, en biología se utilizan modelos de tasas de cambio para analizar y hacer predicciones sobre el crecimiento de la población. En microbiología, por ejemplo, la tasa de crecimiento bacteriano dentro de un cultivo específico puede modelarse mediante el cambio en la población-n de n1 a n2 (Δn) durante un cambio en el tiempo-t de t1 a t2 (Δt). Donde, n es una función de t: n = f (t) = el número de bacterias en un cultivo en el tiempo -t. Por lo tanto, la tasa de crecimiento promedio se modela mediante Δn / (Δt = (f (t2) -f (t1)) / (t2 – t1). Análoga a la velocidad instantánea con velocidad promedio o aceleración instantánea con aceleración promedio, tasa de crecimiento instantáneoes la pendiente de la recta tangente a la curva de tasa de crecimiento en un instante de tiempo-t. Como resultado, la tasa de crecimiento instantáneo se puede expresar mediante dn / dt.

Tasa de cambio / trabajo a través de la presión en termodinámica

Un área de estudio en química que aplica derivados es la termodinámica. En termodinámica, tasas de cambio que involucran la temperatura de un gas, volumen, presión y trabajo.puede ser derivado. Una relación simple de tasa de cambio que prevalece en este estudio es la que existe entre volumen-‘V ‘y trabajo-‘w’, donde ‘w’ = -PΔ’V ‘y por lo tanto’ w ‘= -P∫’Vdv’. Esta representación del trabajo es una función de V. Establece que el trabajo se representa como una función de V a través de un cambio en ‘V’ (ΔV) bajo una presión externa constante-P, es decir, fuerza por unidad de área. Si el gas se está expandiendo, digamos dentro del cilindro de un motor, el gas está ejerciendo presión y está haciendo un trabajo positivo. Si el gas se comprime, entonces se está trabajando en el gas mediante una presión exterior y el valor del trabajo es negativo, denotado por el signo negativo en ‘w’ = -PΔV.

Resumen de la lección

Una variedad de conceptos de ciencias físicas requieren un conocimiento práctico de las tasas de cambio. Aquí vemos el desplazamiento, la velocidad y la aceleración, todas funciones de cambio, representadas por un conjunto de ecuaciones diferenciales respectivas. Estas ecuaciones, a su vez, pueden modelarse gráficamente. Con esto, se puede tener una comprensión más profunda de las tasas de cambio (y cómo se aplican al movimiento). Para solidificar aún más el valor conceptual del cálculo tal como se aplica a las tasas de cambio, también se pueden ver un par de ejemplos en biología y química. Vemos esto tanto en el caso de la tasa de crecimiento de la población como en la termodinámica con trabajo.

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