Rodrigo Ricardo

Cómo resolver cuadráticas que no están en forma estándar

Publicado el 18 septiembre, 2020

Resolver ecuaciones cuadráticas no estándar

Has pasado al nivel tres de Furious Fowls , el juego que te da una pista matemática, pero solo una oportunidad para que tu pájaro aterrice en el cerdo objetivo que tiene tus preciosos huevos. Llegó aquí resolviendo la pista cuadrática para encontrar las raíces de la ecuación y predecir el lugar donde aterrizará su pájaro. Pero aquí, en el tercer y último nivel, las cosas se van a poner bastante complicadas. Van a dejar de ser fácil contigo al darte la cuadrática bien y organizada, y ahora la pista será desordenada y confusa, pero tu objetivo seguirá siendo el mismo: resolver la cuadrática para encontrar las raíces y predecir donde el pájaro golpeará el suelo. ¿Estás listo? ¡Aquí vamos!

Alineemos nuestro tiro y acerquémonos lo más que podamos … eh, eso se ve bien. ¿Cuál es la pista que nos da?

-2 x ( x – 1) + 5 + x = 0

¡Ay! Bueno, es bueno que sea igual a cero, supongo, pero aparte de eso, es un desastre.

Forma cuadrática estándar

Ambas formas en las que sabemos cómo resolver cuadráticas requieren que la ecuación esté en forma estándar ( y = ax 2 + bx + c ) , y esta definitivamente no lo es. ¡Pero no dejes que eso te afecte! No entre en pánico y piense que necesita hacer algo loco. Todo lo que tenemos que hacer es usar nuestras habilidades de álgebra para mover las cosas y volver a poner esta ecuación en su forma estándar.


El método del área se puede utilizar para factorizar en el primer ejemplo
Método de área cuadrática no estándar

Comencemos por distribuir -2 x al ( x – 1) en el interior del paréntesis para cambiar esta expresión solo a la suma. Hacer eso nos da esto: -2 x 2 + 2 x + 5 + x = 0, y ahora solo es cuestión de combinar términos semejantes para terminar con nuestra forma estándar cuadrática, -2 x 2 + 3 x + 5 = 0 .

Ahora podemos comenzar a pensar en resolver esto, y estos números no son tan malos, así que intentemos factorizar. Esto significa primero factorizar el negativo de todo en el trinomio para darnos esto: – (2 x 2 – 3 x – 5) = 0, y luego encontrar un par de números que tengan un producto de -10 y una suma de – 3. Escribir los factores de -10 y buscar el par que se ajuste a nuestros criterios hace que parezca que -5 y +2 son nuestros ganadores. Eso significa que podemos usar el método del área para factorizar esto. Sustituir esos valores en los cuatro cuadrantes y luego sacar el mayor factor común de cada columna y fila nos da la forma factorizada de la ecuación como – (2 x – 5) ( x + 1) = 0.

La propiedad del producto cero

Eso cambia la ecuación en nuestro problema a esto: 0 = 2 x – 5 o 0 = x + 1, lo que ahora nos permite usar la propiedad del producto cero. La propiedad del producto cero dice que cada vez que multiplicamos dos cosas juntas y obtenemos cero, una de las cosas con las que comenzamos debe haber sido cero. Eso significa que en este caso 2 x – 5 = 0 o x + 1 = 0. Ahora son sólo unas pocas operaciones inversas rápidas para encontrar que nuestras dos respuestas son 5/2 o -1.

x = -1 es una solución válida pero no tiene mucho sentido para nuestro juego aquí. Lo que queremos ver es nuestra respuesta 5/2, y parece que estamos un poco fuera de lugar. Necesitamos alejarnos un poco más. Intentemos nivelar nuestro tiro y veamos si eso nos da el resultado que desea. Solo un poco más abajo … está bien. Pero recuerde, este es el nivel final, por lo que nuestra nueva ecuación probablemente no se verá mejor que la anterior y, efectivamente, es un poco loco:

2 x (3 x – 5) = x + 30


La fórmula cuadrática
Imagen de fórmula cuadrática

Este ni siquiera es igual a cero, ¡pero está bien! Todavía tenemos que hacer lo mismo que antes: usar álgebra para cambiar esta cuadrática a la forma estándar. Primero multiplicando con la propiedad distributiva , luego usando operaciones inversas para mover todo al lado izquierdo de la ecuación, y finalmente combinando términos semejantes nos da nuestra ecuación cuadrática en forma estándar 6 x 2 – 11 x – 30 = 0.

La fórmula cuadrática

Sigamos adelante y usemos la fórmula cuadrática para este porque los números son mucho más grandes que el anterior. Eso significa que tenemos que primero identificar correctamente un , b , y c como los coeficientes de nuestra trinomio. A , el primer coeficiente, es 6, el siguiente, b , es -11 y la constante al final, c , es -30. Ahora tenemos que sustituir estos valores en la fórmula, y ahora tenemos que seguir el orden de las operaciones con mucho cuidado para llegar a nuestras dos respuestas.

Trabajando con este paso a paso, el – -11 se convertirá en un +11, el interior de la raíz cuadrada (lo que se llama discriminante) tiene un exponente que podemos hacer primero. -11 * -11 es 121. Entonces 4 * 6 * -30 es -720. Continuando con el orden de las operaciones, haciendo la multiplicación en la parte inferior (2 * 6) me daría 12. Hacer un menos negativo se convierte en más un positivo, lo que significa que terminamos con 11 +/- la raíz cuadrada de 841/12, y resulta que la raíz cuadrada de 841 es 29, lo que significa que puedo dividir las dos respuestas en 11 + (29/12) o 11 – (29/12). Hacer eso y luego simplificar nuestras fracciones nos da nuestras dos respuestas, 10/3 o -3/2.


El problema final después de sustituir valores en la fórmula cuadrática
Ejemplo cuadrático no estándar 2

Nuevamente podemos ignorar más o menos nuestra raíz negativa aquí simplemente como lo que sucedería si se rompiera la honda y enfocarnos en la raíz positiva en 10/3, que parece que va a funcionar. Me siento bastante confiado en esta toma. Hagámoslo … y sí, ¡lo tenemos! Ahora has vencido a Furious Fowls . ¡Eres un experto en resolución de cuadráticas y estás listo para resolver cualquier tipo de ecuación cuadrática!

Resumen de la lección

Repasemos lo que nos ha enseñado Furious Fowls . Podemos resolver ecuaciones cuadráticas de dos maneras: factorizando y usando la propiedad del producto cero o usando la fórmula cuadrática. Ambas formas requieren que la expresión cuadrática esté en forma estándar, por lo que si la expresión no está inicialmente en forma estándar, use álgebra para manipularla en forma estándar antes de comenzar a resolver la ecuación.

Objetivos de la lección

Una vez que complete esta lección, podrá resolver ecuaciones cuadráticas factorizando o usando la fórmula cuadrática.

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