Rodrigo Ricardo

Cómo resolver ecuaciones logarítmicas

Publicado el 18 septiembre, 2020

Magnitud

No voy a mentir; Soy una especie de nerd y me interesé mucho en la ciencia ficción cuando era solo un niño. Tal vez ayude que me pusieran el nombre de Luke Skywalker, pero, de cualquier manera, comenzando en la escuela primaria, no podía dejar de pensar en la Fuerza, las naves espaciales y nuestro sistema solar. Mi planeta favorito era Plutón (aunque supongo que ahora es más un explaneta), pero de cualquier manera quería conseguir un telescopio para poder verlo. Mis padres y yo encontramos uno realmente barato en una tienda cerca de mi casa, pero para mi consternación, cuando llegué a casa y lo probé, no era lo suficientemente bueno.


La magnitud es 5 veces el logaritmo del diámetro más 2
Ecuación de magnitud

Resulta que el telescopio que obtuve solo podía ver estrellas con una magnitud aparente de 8, pero lo que necesitaba era uno que pudiera ver estrellas con una magnitud aparente de 14. Lástima que todavía no era profesor de matemáticas y no lo sabía. Sé que la magnitud de la ecuación es igual a 5 veces el logaritmo del diámetro más 2 (o M = 5 log D + 2 ). Esta es la ecuación que te dice qué estrella de magnitud puedes ver con una lente que tiene un diámetro de D milímetros. Si hubiera sido profesor de matemáticas, habría sabido que podía sustituir 14 por M y luego resolver la ecuación para D. La respuesta resultante le diría qué tan grande debería ser su lente para ver estrellas con una magnitud aparente de 14.

Entonces, ¿qué tan grande era el telescopio que realmente necesitaba? Bueno, nuevamente es nuestro trabajo usar operaciones inversas para obtener la D por sí sola en esta ecuación. Necesitamos comenzar a quitar las capas de esta ecuación una a la vez en orden inverso, comenzando con el paso más externo de esta ecuación, que es el + 2 . Puedo deshacer adición con la resta, y restando 2 desde ambos lados me da 12 = 5 log D . Ahora, la capa más externa es 5 veces. Deshago la multiplicación con la división, dividiendo ambos lados entre 5, y obtengo 2.4 = log D. Ahora, necesito deshacer un registro, y aquí es donde entra en juego la nueva habilidad. Sabemos que la operación inversa a un registro es exponencial, así que necesito usar un exponencial para deshacer este registro. Necesito elegir mi exponencial para que sea del mismo tipo de registro que este, lo que significa que necesito tomar el mismo registro base y exponencial para deshacerlos. Este registro está en blanco, lo que significa que hay una base imaginaria 10 allí, así que necesito hacer la base exponencial 10 en ambos lados.


Dado que el registro está en blanco, existe una base imaginaria 10.
base imaginaria 10

Esto es un poco extraño; en realidad no hemos hecho esto antes. Un error común que veo es que la gente intenta subir el registro a la décima potencia, pero eso no es exactamente lo que queremos. Un exponencial tiene la variable en el exponente, por lo que el 10 no debería ser el exponente; el log D debe ser el exponente. Lo que hago es escribir 10 en la parte inferior izquierda del registro, y esa es mi base, así que obtengo 10 (log D ) . Todo lo que hago en un lado, lo tengo que hacer en el otro lado, así que tengo 10 (2.4) = 10 (log D ) . El 10 (log 10 ) se deshace, porque el exponencial y el log son operaciones inversas, así que obtengo 10 (2.4) = D. Si conecto 10 (2.4) en mi calculadora, obtengo ~ 251. Eso significa que necesitaba un telescopio que tuviera una lente con un diámetro de 251 milímetros. ¡Eso es casi 10 pulgadas, que es un telescopio bastante grande! Tal vez sea lo mejor que no conociera esta ecuación, porque si le hubiera pedido a mis padres algo tan grande, seguramente me hubieran rechazado.

Propiedad del producto

Podemos usar habilidades similares para resolver ecuaciones logarítmicas aún más difíciles , como log 2 ( x ) + log 2 (5) = 10. Esto es más difícil que nuestro ejemplo de telescopio porque hay dos registros en lugar de uno. Esto significa que tendremos la oportunidad de practicar nuestras habilidades de propiedad, así como nuestras habilidades de resolución, ¡todo en un solo problema! Antes de que pueda resolver esta ecuación como lo hicimos antes, necesito usar la propiedad del producto para combinar los dos registros en uno. Elegí la propiedad del producto porque vi dos registros separados por suma. Cuando veo eso, la propiedad del producto me dice que puedo condensarlos en un registro donde ahora se multiplican las dos cosas en el interior. Entonces, en lugar de log 2 ( x ) + log 2(5), los combino en uno, multiplico 5 yx y obtengo log 2 (5 x ) = 10.


La propiedad del producto le dice cómo combinar dos registros.
Ecuación de registros

Ahora que está escrito como un registro, puedo seguir resolviendo este problema y resolverlo exactamente como lo hice con el anterior. El 5 y la x están en el interior del registro, por lo que lo siguiente que debe deshacer, la capa más externa, es el registro en sí. Acabamos de aprender que deshaces los registros con exponenciales al exponenciar. Esta vez, la base de mi logaritmo es 2, lo que significa que tengo que usar la misma base en mi exponencial, así que pongo 2 (log 2 (5 x )) = 2 10 . Eso deshace el registro de la izquierda, solo obtengo 5 x , y de la derecha 2 10 = 1,024. Rápidamente deshago la multiplicación con la división, obtengo la x por sí misma y encuentro que x debe ser igual a 204,8.

Exponencial

Incluso podemos resolver ecuaciones logarítmicas que tienen registros en ambos lados del signo igual, así: log 3

(4 x ) = log 3 (2 x + 8). Debido a que se nos pide que resolvamos, el objetivo sigue siendo averiguar qué debe ser igual a x para que la ecuación sea verdadera. Eso significa deshacer. Afortunadamente, ambos registros tienen la misma base, 3, y los registros son el paso más externo en ambos lados de la ecuación. No hay más 3 en el exterior, o dividido por 2 o por 4; en ambos lados, el tronco es lo más externo. Otra forma de decir eso es que todo lo que está a cada lado de la ecuación está en el interior del registro. Debido a esto, podemos simplemente exponenciar ambos lados con la misma base, 3, y los registros se deshacen en ambos lados. Nos queda una ecuación lineal sencilla y agradable, 4 x = 2 x+ 8. Ahora es simplemente una cuestión de deshacer lo que sabemos con la resta, luego con la división, para encontrar que x = 4.


No tendrá un problema que requiera cambiar registros con diferentes bases antes de exponenciar.
troncos de diferentes bases

A diferencia de las ecuaciones exponenciales, nunca he visto un problema de ejemplo como este que tenga registros con bases diferentes, así que no se preocupe por tener que cambiar la base de los registros antes de exponenciar para problemas como este. ¡Eso nunca se te pedirá!

Resumen de la lección

Para repasar, podemos deshacer logaritmos exponenciando . Así como podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por 2 para deshacer la división, podemos exponencializar ambos lados por 2, o por cualquier número, convirtiendo x = y en b x = b y . Si está resolviendo una ecuación con dos registros en el mismo lado del signo igual, primero debe usar lo que sabe acerca de las propiedades logarítmicas para combinar los registros en uno antes de poder deshacer algo. Por último, si está resolviendo una ecuación con registros a cada lado del signo igual, siempre que tengan la misma base, simplemente puede exponenciar para cancelar ambos.

Objetivos de la lección

Cuando complete esta lección, podrá:

  • Deshacer logaritmos exponenciando
  • Resolver ecuaciones con registros en el mismo lado de un signo igual
  • Encuentre la respuesta a ecuaciones con registros a ambos lados del signo igual

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