Cómo resolver sistemas lineales usando la eliminación de Gauss-Jordan

Sistemas lineales

Los sistemas lineales son una colección de ecuaciones lineales. Podemos tener sistemas lineales en dos variables, sistemas lineales en tres variables y sistemas lineales en incluso más variables. La clave de todos estos sistemas es que no hay exponentes para ninguna de las variables. En otras palabras, todas las variables son de primer grado. A medida que avance en matemáticas, se encontrará con sistemas lineales de todo tipo, tanto simples como más complejos. Ser capaz de resolverlos fácilmente le servirá de mucho. Entonces, siga mirando y aprenderá cómo usar la eliminación de Gauss-Jordan para ayudarlo a resolver sus sistemas lineales.

Para ayudarnos a demostrar esta técnica, trabajemos en este sistema lineal en tres variables:

Eliminación de Gauss-Jordan

Entonces, el proceso de eliminación de Gauss-Jordan implica crear una matriz aumentada de ambos lados de nuestras ecuaciones, cambiar esta matriz a una forma escalonada de filas reducida (explicaré esto más adelante), luego terminar el problema para encontrar nuestra solución.

Vamos a empezar. Primero creamos nuestra matriz aumentada. Nuestra primera fila es 2, 1, -3 y 3. Nuestra segunda fila es -2, 2, 3 y 4. Nuestra tercera fila final es 0, -3, 2 y 1.

Ahora que hemos creado nuestra matriz aumentada, es el momento de cambiarla.

Forma escalonada de fila reducida

Queremos cambiarlo a su forma escalonada reducida . ¿Qué es este formulario? Es cuando nuestra matriz tiene ceros en la diagonal inferior y el primer número distinto de cero en cada fila es 1. Además, si una columna tiene un 1 a la izquierda, todos los demás números también deben ser 0.

Para empezar, la diagonal inferior de nuestra matriz incluye los números -2 y -3. Necesitamos cambiarlos a 0. Hagamos eso primero.

Para cambiar -2 a 0, podemos sumar la primera y la segunda ecuación. Al hacer eso, obtenemos una nueva segunda fila de 0, 3, 0 y 7. Ahora podemos agregar la nueva segunda fila a la tercera fila para obtener una nueva tercera fila de 0, 0, 2 y 8. Ahora tenemos esto matriz:

Ahora, cambiemos todos nuestros números principales a 1. Dividimos la primera fila por 2 para obtener 1, 1/2, -3/2 y 3/2. Dividimos la segunda fila por 3 para obtener 0, 1, 0 y 7/3. Dividimos nuestra tercera fila por 2 para obtener 0, 0, 1 y 4. Nuestra matriz ahora se ve así:

Miramos nuestros primeros 1 y vemos que en la segunda columna necesitamos cambiar 1/2 a 0, y en la tercera columna necesitamos cambiar -3/2 a 0 también. Recordamos que en la forma escalonada de filas reducida, cualquier columna con un 1 inicial debe tener 0 para todos los demás números.

Para lograr esto, podemos multiplicar nuestra tercera fila por 3/2 y agregarla a la primera fila. Al multiplicar la tercera fila por 3/2, obtenemos 0, 0, 3/2 y 6. Al agregar esto a la primera fila, obtenemos una nueva primera fila de 1, 1/2, 0 y 15/2. Ahora podemos multiplicar nuestra segunda fila por -1/2 y agregarla a esta nueva primera fila para deshacernos de nuestro 1/2. Multiplicando la segunda fila por -1/2, obtenemos 0, -1/2, 0 y -7/6. Sumando a la primera fila, obtenemos 1, 0, 0 y 19/3.

Nuestra matriz está ahora en forma escalonada reducida. Nuestra diagonal inferior es todo 0. Nuestros números principales son todos 1. Y cada columna con un 1 al principio tiene un cero en todas partes.

Terminando

Ahora podemos terminar fácilmente nuestro problema resolviendo nuestras variables. Tenemos x = 19/3, y = 7/3 yz = 4. Eso fue fácil, ¿no? No quedaba mucho trabajo después de que cambiamos nuestra matriz a una forma escalonada reducida.

Resumen de la lección

¿Qué hemos aprendido? Hemos aprendido que los sistemas lineales son una colección de ecuaciones lineales. El método de eliminación de Gauss-Jordan es una forma de resolver sistemas lineales. La eliminación de Gauss-Jordan implica crear una matriz aumentada de ambos lados de nuestras ecuaciones, cambiar esta matriz a una forma escalonada de filas reducida y luego terminar el problema para encontrar nuestra solución.

La forma escalonada de fila reducida es cuando nuestra matriz tiene ceros en la diagonal inferior y el primer número distinto de cero en cada fila es 1. Además, si una columna tiene un 1 a la izquierda, entonces todos los demás números también deben ser 0. Después de que hayamos cambió nuestra matriz a la forma escalonada de filas reducida, es un proceso simple para terminar y encontrar la solución.

Los resultados del aprendizaje

Al completar esta lección, debería poder:

• Definir sistemas lineales y forma escalonada de fila reducida
• Explicar cómo usar la eliminación de Gauss-Jordan para resolver sistemas lineales.