Cómo resolver una ecuación cuadrática por factorización

Resolver una ecuación cuadrática con factorización

Bienvenido al nivel uno de “Furious Fowls”, el juego que te permite controlar a las aves que intentan recuperar sus huevos de esos molestos cerdos. ¿Puede lanzar su pájaro en el ángulo exacto correcto para asegurarse de que su pájaro reciba un impacto directo? Estamos a punto de averiguarlo.

La única diferencia entre ‘Furious Fowls’ y otros juegos que son similares es que solo obtienes un disparo para acertar. ¡Así que más vale que valga la pena! Pero, debido a que solo obtiene una oportunidad, le daremos una pista para ayudarlo y asegurarnos de que su primera toma sea siempre un golpe directo. ¿De qué tipo de pista estoy hablando? Veamos el nivel uno.

Así que, aquí vamos; nuestro pájaro está listo en nuestra honda, listo para partir, y nuestro cerdo está esperando muy presumido allí, pensando que es seguro. Pero queremos asegurarnos de atraparlo. Puedo intentar mirarlo a ojo balanceando mi pájaro aquí arriba y abajo. Observe que a medida que lo balanceo en diferentes direcciones, la ecuación matemática en la esquina de la pantalla está cambiando. Será tu trabajo usar esa ecuación matemática para asegurarte de que tu único disparo dé en el blanco.

Factorizar cambia la ecuación de la forma estándar a la de intersección.

Ejemplo 1

Sigamos adelante e intentemos alinear un tiro. Tal vez así; eso parece correcto. El juego nos ha dicho que si disparamos en este ángulo, nuestro pájaro volará en un camino que sigue la ecuación cuadrática y = – x 2 + 6 x + 16 donde y es la altura del pájaro yx es la distancia que tiene. viajado. Como estamos tratando de golpear a un cerdo que está sentado en el suelo, tenemos curiosidad por saber cuándo nuestro pájaro golpeará el suelo, que es donde y = 0. Sustituir este valor en nos da esta ecuación. Esta ecuación nos hace la pregunta, ¿hasta dónde llegará nuestro pájaro antes de tocar el suelo?

Normalmente resolvemos ecuaciones usando operaciones inversas para obtener la variable por sí misma, pero en este caso, tendríamos algunos problemas con esa estrategia. Debido a que hay x , pero también x 2 en esta ecuación, no hay una sola variable que podamos obtener por sí sola. Esto significa que necesitamos una nueva estrategia para resolver ecuaciones cuadráticas. Si bien hay algunas formas diferentes de hacer esto, la más básica es a través de la factorización. Si bien esta forma no siempre funcionará, probablemente sea la forma más fácil de hacerlo, por lo que saber cómo hacerlo es realmente útil. Factorizar la cuadrática la cambiará de la forma estándar a la forma de intersección, lo que nos dirá exactamente dónde la parábola cruza el eje x (donde su xintercepciones son), o en este problema, donde el pájaro golpea el suelo.

Para factorizar una cuadrática, es muy bueno no tener un término x 2 negativo , así que dividamos esa parte primero. Sacar un negativo de cada término nos deja con esta ecuación. Ahora podemos comenzar a buscar los dos números que tienen un producto de -16 y una suma de -6. La razón por la que hacemos eso tiene que ver con el factoring. Entonces, si está luchando con la factorización, probablemente debería volver atrás y consultar una lección anterior para obtener los conceptos básicos. Encontrar un par de números que satisfagan estas dos ecuaciones será más fácil si escribimos los diferentes factores de 16 y buscamos el par que puede sumar o restar -6. Hacer eso hace que parezca que 2 y -8 son nuestros ganadores. Por lo tanto, podemos reescribir nuestra ecuación como esta: (0 = – ( x – 8) ( x + 2)).

Pero, ¿por qué hicimos eso? ¿Cómo nos ha acercado eso a resolver esta ecuación para x ? Todavía tengo dos de ellos; No puedo conseguir uno solo. Bueno, lo que tenemos ahora es un producto igual a cero. Esto nos permite usar lo que se llama la propiedad del producto cero , que dice que cada vez que un producto es igual a cero, al menos una de las cosas que estamos multiplicando debe ser cero. Otra forma de decirlo es esta: la única forma de multiplicar dos cosas y terminar con cero es haciendo que una de esas dos cosas sea cero. Lo que esto nos permite hacer es dividir la ecuación y decir que x – 8 o x + 2 es igual a cero. Ahora que la xs están separados, podemos usar nuevamente operaciones inversas para resolverlos. Deshacer -8 y +2 nos dice que los dos lugares donde nuestro pájaro chocará contra el suelo están en x = -2 o x = 8.

Bueno, en nuestro juego aquí, esa respuesta -2 podría suceder si la honda se rompió, pero estamos más preocupados con la respuesta de 8. Y parece que ahora, si nuestro pájaro vuela a 8, pasará directamente sobre el cerdo que nosotros Estás tratando de golpear, por lo que hacer este disparo sería un desperdicio de pájaros.

Ejemplo # 2

Utilice el método del área para encontrar la expresión factorizada en el ejemplo 2.

Pero si lo ajustamos un poco, tal vez apuntando un poco hacia arriba para que nuestro pájaro vuele más alto en el aire pero no llegue tan lejos, se nos dice que ahora volará el camino de esta parábola y = -2 x 2 + 11 x + 21. Veamos si esto hace lo que queremos.

Reemplazaremos nuevamente en y = 0 para saber cuándo nuestro pájaro tocará el suelo, y luego factorizaremos la cuadrática para separar las x sy permitirnos usar la propiedad del producto cero. Nuevamente comenzamos sacando lo negativo para ayudarnos a factorizar, dejándonos con esto. Luego necesitamos encontrar un par de números cuyo producto sea -42 (el primer término multiplicado por el último término) y nuevamente, cuya suma sea -11. Al escribir los factores de 42 y comparar los pares de números, parece que 3 y -14 son nuestros ganadores. Pero como tenemos un 2 delante de nuestro término x 2 , necesitaremos usar el método del área para averiguar exactamente cómo se factorizan todos estos factores. Poniendo los dos valores que acabamos de encontrar en una diagonal de nuestra caja como coeficientes en x‘s, con el 2 x 2 y el -21 en la otra diagonal, nos permite trabajar nuestro camino hacia el exterior y encontrar nuestra expresión factorizada. Hacemos esto encontrando el máximo factor común en cada fila y columna.

En la columna de la izquierda, ambos términos tienen un 2 y una x ; en la columna de la derecha ambos términos tienen un 3. En la fila superior, ambos términos solo comparten una x ; y en la fila inferior, ambos términos solo comparten un -7. Esto hace que la forma factorizada de (2 x 2 – 11 x – 21) sea lo mismo que 2 x + 3 por x – 7. Nuevamente, para obtener más ayuda sobre la factorización, consulte el video anterior.

Ahora que hemos factorizado la cuadrática, podemos usar la propiedad del producto cero para dividir x sy decir que 2 x + 3 = 0 o x – 7 = 0. Unas pocas operaciones inversas rápidas más tarde nos dicen que nuestro pájaro golpeará el suelo en 7 o -3/2. Nuestra respuesta -3/2 no nos preocupa demasiado, pero parece que tener nuestro pájaro aterrizando en 7 es exactamente lo que queremos. Podemos disparar a este pájaro con la confianza de que lo golpearemos en nuestro primer intento y pasaremos el nivel uno.

¡Felicidades! ¡Acabas de pasar el nivel uno de ‘Furious Fowls!’ Ahora puede pasar al nivel dos, donde las cosas se pondrán un poco más difíciles.

Resumen de la lección

Sin embargo, antes de hacer eso, repasemos rápidamente lo que ha aprendido del nivel uno. Si está tratando de encontrar cuándo un objeto lanzado al aire golpeará el suelo, debe establecer la ecuación cuadrática en cero y resolverla.

Resolver ecuaciones cuadráticas con solo operaciones inversas no funcionará porque hay x y x 2 . Lo que necesitamos es una forma de romperlos primero. Una forma de hacer esto es factorizar y luego usar la propiedad de producto cero. Esto le permite configurar dos ecuaciones separadas que se pueden resolver con operaciones inversas para obtener nuestras dos respuestas separadas.

Objetivos de la lección

Una vez que complete esta lección, podrá resolver ecuaciones cuadráticas factorizando.