Rodrigo Ricardo

Cómo simplificar expresiones con bases fraccionarias

Publicado el 22 noviembre, 2020

Bases fraccionales

¿¡Adivina qué!? Su escuela está organizando una recaudación de fondos para un próximo viaje de campo, e implica participar en un relevo de socios de triatlón. Tú y tu amigo Mike deciden asociarse. ¡Recaudemos algo de dinero!

El triatlón consta de una sección de natación, una sección de ciclismo y una sección de carrera. Cada sección tiene media milla de largo. Dado que se trata de un relevo, tú y Mike recorrerán la mitad de la distancia para cada sección. Averigüemos qué tan lejos nadará, andará en bicicleta y correrá cada uno de ustedes.

Cada sección es 1/2 de una milla, y cada uno está haciendo 1/2 de eso. Entonces, solo tenemos que multiplicar 1/2 por 1/2 para calcular nuestras distancias individuales para cada evento. En otras palabras, necesitamos elevar al cuadrado 1/2, o elevar 1/2 a la potencia de 2.

fracbase1

En matemáticas, la expresión (1/2) 2 se llama expresión exponencial. En general, una expresión exponencial tiene la forma:

  • x y

Llamamos x la base de la expresión y y el exponente . Para evaluar esta expresión, multiplicamos x por sí mismo y veces.

Observe que en nuestro ejemplo, (1/2) 2 , nuestra base es una fracción. Cuando la base de una expresión exponencial es una fracción, la llamamos base fraccionaria .

Ahora sabemos cómo se llaman todas las partes de nuestra expresión, pero ¿cómo lo simplificamos para averiguar qué tan lejos estarán usted y su pareja nadando, montando bicicleta y corriendo? Vamos a averiguarlo.

Simplificar expresiones con bases fraccionarias

Consideremos una expresión exponencial general con una base fraccionaria.

  • ( a / b ) c

Resulta que existe una buena fórmula para simplificar esta expresión. Podríamos saltar directamente a usar esa fórmula, pero ¿qué tiene de divertido? Veamos si podemos encontrar la fórmula nosotros mismos y luego usarla.

Como dijimos, simplificamos una expresión exponencial, x y , multiplicando x por sí mismo y veces. Por lo tanto, para simplificar ( a / b ) c , multiplicamos a / b por sí mismo c veces. Eso no es tan difícil siempre y cuando tengamos en cuenta que multiplicar fracciones simplemente implica multiplicar los numeradores y los denominadores.

fracbase2

Vemos que terminamos con una fracción con un numerador de a multiplicado por sí mismo c veces, o a c , y un denominador de b multiplicado por sí mismo c veces, o b c . Básicamente, para elevar una base fraccionaria a un exponente, elevamos tanto el numerador como el denominador de la base a ese exponente.

fracbase3

¡Increíble! ¡Tenemos una fórmula que podemos usar para simplificar expresiones con bases fraccionarias!

Para practicar, veamos las distancias para el triatlón. Podemos usar nuestra fórmula para averiguar qué tan lejos nadarán, andarán en bicicleta y correrán usted y su pareja.

(1/2) 2 Usa la fórmula
1 2 /2 2 Simplificar
(1 ⋅ 1) / (2 ⋅ 2) Multiplicar
1/4 Simplificado tanto como sea posible

Parece que cada uno de ustedes nadará 1/4 de milla, andará en bicicleta 1/4 de milla y correrá 1/4 de milla.

Más ejemplos

Siempre que aprendemos un hecho, una regla o una fórmula nuevos, siempre es una buena idea ponerlo en práctica con algunos ejemplos para ayudarnos a comprender el concepto. Echemos un vistazo a algunos ejemplos matemáticos generales de simplificación de expresiones con bases fraccionarias para ayudarnos a familiarizarnos realmente con la fórmula y cómo aplicarla.

Primero, suponga que queremos elevar 2/3 a la potencia de 4. Para hacer esto, usamos nuestra fórmula para elevar tanto el numerador como el denominador a la potencia de 4, y luego simplificar.

(2/3) 4 Usa la fórmula
2 4 /3 4 Simplificar
(2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2) / (3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3) Multiplicar
16/81 Simplificado tanto como sea posible

Usando nuestra fórmula, obtenemos que (2/3) 4 = 16/81.

Hagamos uno más por si acaso: Simplifique la expresión (3/7) 3 .

(3/7) 3 Usa la fórmula
3 3 /7 3 Simplificar
(3 ⋅ 3 ⋅ 3) ​​/ (7 ⋅ 7 ⋅ 7) Multiplicar
27/343 Simplificado tanto como sea posible

Obtenemos que (3/7) 3 = 27/343.

Resumen de la lección

Una expresión exponencial tiene la forma:

  • x y

Llamamos x la base de la expresión y y el exponente . Para evaluar esta expresión, multiplicamos x por sí mismo y veces. Cuando la base es una fracción, la llamamos base fraccionaria .

Para simplificar expresiones con bases fraccionarias, simplemente elevamos tanto el numerador como el denominador de la base al exponente.

fracbase3

Ser capaz de simplificar expresiones con bases fraccionarias definitivamente es útil, no solo en matemáticas, sino también en los problemas cotidianos que puedan surgir.

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