Cómo sumar, restar, multiplicar y dividir funciones

Funciones de costos, ingresos y ganancias

Soy un gran fanático de los deportes, pero siempre me ha desanimado lo caro que es comprar equipo de mis equipos favoritos. Pero cuando me mudé recientemente a Minneapolis, ¡hice algunos amigos que decidieron hacer algo al respecto! Acaban de abrir su propia empresa de camisetas llamada Tinyapolis que vende camisetas para los equipos populares aquí en Minnesota.

Pero cuando es dueño de su propio negocio, quiere estar seguro de poder ganar dinero. Entonces, antes de dar el paso y comprar todos los suministros para comenzar a hacer sus camisas, descubrieron cuál sería su función de ingresos , o r (x) . Esta es la función que les diría cuánto dinero ganarían vendiendo x camisetas. Pero es igualmente importante saber cuál sería la función de costo , oc (x) . Esto les diría cuánto dinero tendrían que gastar para hacer x camisetas.

Después de investigar un poco, obtuvieron las funciones de ingresos y costos que se ven aquí: r ( x ) = 20 x yc ( x ) = x 2 – 1100 x + 1200. Pero, por separado, estas dos funciones no le dicen al toda la historia. Lo más importante es, después de que todo está dicho y hecho y las camisetas se han hecho y vendido, ¿ganaron o perdieron dinero?

Ahí es donde entra en juego la función de ganancias , op (x) . La función de ganancias les diría a mis amigos si ganarían más dinero vendiendo las camisetas de lo que les costaría hacerlas. Esto significa que la función de ganancias es simplemente la función de ingresos menos la función de costos. Si cuesta más hacer x camisetas de lo que ganan vendiéndolas, tendrán una ganancia negativa. Pero si ganan más con las ventas de lo que gastan en producir las camisetas, ¡estarán en buena forma!

Entonces, ¿cómo se ve realmente esta función de ganancias? Bueno, todo lo que realmente tenemos que hacer es sustituir lo que ya sabemos que son las funciones de ingresos y costos y luego simplificar. Primero seguiremos y distribuiremos el signo negativo a x 2 , -1100 x y 1200. Luego combinamos términos semejantes agrupando 20 x y 1100 x , y terminamos con nuestra función de ganancias como esta : p ( x ) = – x 2 + 1120 x – 1200. Vaya, si esos números son correctos, van a estar rodando. ¡Espero que repartan la riqueza!

Operaciones de función

Este fue un ejemplo de una operación de función , específicamente, resta. Pero podemos hacer todas las operaciones principales en funciones, como suma, multiplicación y división. Todas estas operaciones diferentes simplemente requieren que sustituyas lo que sabes que es la función y que vayas desde allí, lo que realmente no es tan malo, pero hay algunas razones por las que estos problemas pueden complicarse.

Primero, la notación de función en sí misma a menudo confunde a las personas haciéndoles pensar que es más difícil de lo que realmente es. En segundo lugar, hay una buena cantidad de conocimientos previos que necesita conocer para resolver completamente las preguntas sobre la operación de funciones. Esto se debe a que cada operación terminará pidiéndote que hagas algo un poco diferente. Por ejemplo, cuando restamos funciones hace unos segundos, se nos pidió que combinamos términos semejantes. Pero cuando multiplica funciones, a menudo tendrá que recordar cómo multiplicar polinomios con FOIL o el método del área. Pero eso significa que mientras te sientas cómodo con la notación de funciones y tengas una sólida formación en álgebra, no hay nada que hacer.

Usando el método del área para multiplicar polinomios con más de dos términos

Multiplicar funciones

Echemos un vistazo a un ejemplo diferente que nos pedirá que usemos una operación diferente, tal vez una multiplicación como la que acabo de mencionar. Si f ( x ) = x 2 + 2 x – 5 y g ( x ) = 3 x – 1, entonces, ¿cuál es f ( x ) * g ( x )?

Evitemos el primer escollo y no dejemos que toda esta notación de funciones nos asuste. Todo lo que se nos pide que hagamos es multiplicar las dos funciones, para que podamos sustituir esas expresiones que nos enumeraron de esta manera. En este punto, es simplemente una cuestión de usar nuestras habilidades de álgebra para simplificar la expresión. Debido a que estamos multiplicando polinomios , eso significa multiplicación tipo FOIL. Básicamente, necesitamos multiplicar cada término de esta expresión frontal con cada término en la segunda.

Me gusta usar el método del área para organizar mi trabajo para multiplicar polinomios que tienen más de dos términos. Eso requiere que hagamos un gráfico que tenga dimensiones iguales al número de términos en nuestros dos polinomios, en este caso, tres por dos. A continuación, etiquetamos la parte superior y el lateral del gráfico con nuestros dos polinomios. Entonces, la parte superior, que está dividida en tres secciones, obtiene f ( x ) ( x 2 , 2 x y -5), mientras que la izquierda del gráfico obtiene g ( x ) (3 x y -1). Ahora completamos la tabla multiplicando los términos a la izquierda y arriba de cada casilla. Por ejemplo, el primer cuadro será x 2 * 3 x = 3 x 3. Continuando con este proceso sería el siguiente, y ahora acabamos de combinar los términos semejantes lo que tenemos que encontrar nuestra respuesta final es de 3 x 3 + 5 x 2 – 17 de x + 5.

Funciones de división

La división de funciones es un proceso muy similar. No tendremos que multiplicar con el método del área, pero aún sustituiremos en expresiones y simplificaremos lo que nos quede. Probemos con este ejemplo: dado g ( x ) = 4 x 5 y h ( x ) = 8 x 2 , ¿cuál es g ( x ) / h ( x )?

Para simplificar la expresión, puede escribir todas las X y cancelar las de la parte superior e inferior

No se preocupe por la notación; sustituyamos por lo que sabemos que son gy h. Eso nos deja con esto: 4 x 5 /8 x 2 . Ahora solo necesitamos simplificar nuestra expresión, esta vez con las propiedades de nuestro exponente.

Podemos usar la propiedad del cociente de potencias , que nos dice que restemos los exponentes, o simplemente podemos escribir las x que tenemos y cancelar las que están en la parte superior e inferior. De cualquier manera, deberíamos terminar con solo tres x s restantes en el numerador. Ahora podemos simplificar los números usando las habilidades de simplificación de fracciones de la escuela secundaria para decir que 4/8 es lo mismo que 1/2, y tenemos nuestra respuesta: ¡ x (3/2) !

Resumen de la lección

Podemos sumar, restar, multiplicar o dividir funciones sustituyendo lo que sabemos que es la función y luego simplificando la expresión. Estas cosas se denominan operaciones de función. La clave para las operaciones de función es no dejar que la notación de la función lo desvíe. Sustituye lo que sabes que son las funciones y luego usa cualquier conocimiento de álgebra que tengas para simplificar la expresión.

Operaciones con una función

La operación de función es el proceso de combinar funciones sumando, restando, multiplicando o dividiendo. Para poder completar con éxito una operación de función, es necesario tener un conocimiento básico de las funciones de álgebra. Si tiene una base sólida, las operaciones de funciones se vuelven tan simples como imputar los números correctos y seguir la operación que necesita.

Resultado de aprendizaje

Después de revisar esta lección, debería poder:

• definir el funcionamiento de la función y la terminología relacionada.
• demostrar cómo sumar, restar, multiplicar o dividir dos o más funciones.