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Cómo tomar la derivada de tan (x)

Publicado el 1 octubre, 2020

Cómo tomar la derivada de la tangente

Para encontrar la derivada de la tangente de x , comenzaremos escribiendo tan x como sin x / cos x y luego usaremos la regla del cociente para diferenciar. La regla del cociente dice que si dos funciones son diferenciables, entonces el cociente también es diferenciable. Aquí está la regla del cociente aplicada a tan x cuando está en forma de sin x / cos x :

quotient_rule_derivative_tan_x

Ahora sabemos que la derivada de sen x es cos x y la derivada de cos x es -sin x . Sustituyendo estas derivadas entre paréntesis y simplificando, obtenemos:

simplificar

Ahora hay dos identidades trigonométricas que podemos usar para simplificar este problema:

  • sin 2 x + cos 2 x = 1
  • segundos x = 1 / cos x

el resultado

Y eso es todo, ¡hemos terminado! La derivada de tan x es sec 2 x .

Sin embargo, puede haber más para encontrar derivadas de tangente. En el caso general, tan x es la tangente de una función de x , como tan g ( x ). Tenga en cuenta que en el caso simple, g ( x ) = x .

Generalmente buscamos:

formulario_general_para_derivadas_de_tan_g (x)

Por ejemplo:

g (x) = 3x

Veamos los pasos para resolver este problema.

El enfoque paso a paso:

Paso 1: Identifica g ( x )

En este ejemplo, g ( x ) = 3 x

Paso 2: Encuentra g ‘( x )

Tomando la derivada de g ( x ), obtenemos:

g_prime_of_x

Paso 3: usa la regla de la cadena

formulario_general_de_derivado

Entonces en este ejemplo:

3 segundos ^ 2 (3x)

¿Qué tal otro ejemplo? Encontremos la derivada de tan x 2 .

Paso 1: Identifica g ( x )

g ( x ) = x 2

Paso 2: Encuentra g ‘( x )

g ‘( x ) = 2 x

Paso 3: usa la regla de la cadena

cadena de reglas

Otras formas de escribir la solución

Dado que el recíproco del coseno es la secante, la solución final

formulario_general_de_derivado

podría escribirse como

otra_forma_de_derivada

Entonces, la respuesta final para nuestro primer ejemplo podría escribirse como:

tan ^ 2_forma_de_solución

De sin 2 x + cos 2 x = 1, dividir por cos 2 x da tan 2 x + 1 = sec 2 x .

Por lo tanto, otra forma para la solución final se puede escribir como:

tan ^ 2_forma_de_solución

Para el primer ejemplo, podríamos escribir:

tan ^ 2_forma_de_solución

La forma que elija dependerá del resto de funciones de su respuesta.

Resumen de la lección

La derivada de tan x es sec 2 x . Cuando el argumento de la tangente es en sí mismo una función de x , usamos la regla de la cadena para encontrar el resultado. Hay formas alternativas de escribir la respuesta final. Una aplicación de la derivada de tan x es aproximar la tangente de un ángulo.

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