Cómo tomar un determinante de una matriz

¿Qué es una matriz?

Ejemplo de una matriz MxN

Una de las operaciones más simples y únicas que puede realizar con una matriz se llama determinante . En este video, nos concentraremos en cómo se ve y cómo se calcula. No vamos a profundizar demasiado, pero necesitamos un poco de vocabulario y conceptos básicos de la matriz para esto.

Las matrices son cuadrículas de números que están rodeados por corchetes, una especie de paréntesis al cuadrado. Y las matrices están etiquetadas por su número de filas y columnas, por lo que llamamos a una matriz una matriz M x N, donde M es el número de filas y N es el número de columnas. Lo que ves aquí es una matriz de 3 por 5 ( 3 x 5 ), porque tiene 3 filas y 5 columnas de números, lo que es un total de 15 números dentro. Esta sería una matriz de 6 por 1 ( 6 x 1 ) debido a sus 6 filas y solo 1 columna . Ambos ejemplos parecen rectángulos porque el número de filas y columnas es diferente.

Matrices cuadradas

Cuando el número de filas y columnas es el mismo, terminamos con una matriz cuadrada . Eso significa que podríamos tener una matriz cuadrada de 1×1 o 2×2 o 3X3. Debido a que tienen el mismo número de filas y columnas, la forma matemática de la definición de una matriz cuadrada es decir que se trata de cualquier matriz que es N x N .

Una matriz cuadrada se conoce como matriz NxN en matemáticas

La razón por la que necesitamos saber qué es una matriz cuadrada es que un determinante solo se puede calcular en matrices cuadradas. Mientras sea una matriz cuadrada, el determinante de cualquier matriz es simplemente un número, por lo que el determinante toma una matriz y la reduce a un valor. En realidad, calcular el determinante se vuelve cada vez más difícil a medida que la matriz se hace cada vez más grande, por lo que comenzaremos mirando la matriz cuadrada más pequeña (1×1) y practicaremos con las más grandes.

Tomar el determinante de una matriz 1×1 es lo que los matemáticos llaman “trivial”. Esto se debe a que esencialmente no hay nada que hacer. Por ejemplo, el determinante de la matriz (que se indica con barras rectas en lugar de corchetes) | 4 | es solo 4. O el determinante de la matriz | -5 | es solo -5. Observe que la matriz ya no está entre corchetes, sino solo en barras rectas hacia arriba y hacia abajo, algo así como signos de valor absoluto. Aunque el | | los símbolos tienen el mismo aspecto que un valor absoluto, esto es solo una coincidencia y probablemente se deba al hecho de que los matemáticos son vagos y no quieren dibujar nada más complicado.

Matriz 2X2

Tomar el determinante de una matriz de 2×2 comienza a complicarse un poco. Veamos el ejemplo | 5 4, 8 2 |. Nuevamente, debido a que la matriz está rodeada por | | sabemos que se nos pide que calculemos el valor numérico del determinante. Ahora, tenemos que comenzar con un proceso que implica multiplicar las diagonales y restar los productos. Comenzamos con la diagonal superior izquierda a inferior derecha; en este ejemplo, haríamos (5) (2). Restamos la diagonal inferior izquierda a superior derecha, que es (8) (4) de eso. Terminamos con 10 – 32 = -22, por lo que el determinante de esta matriz es simplemente -22.

Multiplica los diagnósticos y resta los productos para encontrar el determinante

Otro ejemplo rápido podría ser | -1 5, -4 3 |. Aquí haríamos (-1) (3) – (-4) (5). Tenga cuidado al restar un negativo, ya que cambia de signo. Entonces, (-1) (3) – (- 4) (5) = -3 + 20 = 17.

Observar una matriz genérica con variables como entradas en lugar de números (| ab, cd |) nos da la fórmula para el determinante de una matriz de 2×2 como ad – bc , que nuevamente obtenemos al multiplicar la diagonal superior izquierda inferior derecha y restar la diagonal inferior izquierda superior derecha.

Forma general del determinante de una matriz de 2×2

Matrices más grandes

Una vez que llegamos a matrices más grandes que 2×2, terminamos teniendo que calcular un grupo de determinantes más pequeños en una fila para calcular el determinante principal. Esta habilidad no es esencial para esta clase, por lo que solo repasaremos una rápidamente para que pueda estar expuesto a ella, pero no se preocupe por memorizar el proceso.

Por ejemplo, si quisiéramos calcular el determinante de esta matriz de 3X3 aquí mismo, tendríamos que hacer 2 multiplicado por el determinante de la matriz de 2X2 que obtienes cuando cubres la fila y la columna en la que está 2. Ahora, tomaríamos lejos 1 multiplicado por el determinante de la matriz 2X2 que obtienes cuando cubres la fila y la columna en la que está 1. Finalmente, -3 veces el determinante que obtienes cuando cubres la fila y la columna en la que está -3. Ahora, se convierte en un proceso de evaluación de los determinantes de estos determinantes 2X2 más pequeños con la fórmula que acabamos de aprender, que es ad – bc. En este caso, terminaríamos con el determinante de esta matriz 3X3 siendo 25. Si tuviéramos que tomar el determinante de un 4X4 o 5X5 o 10X10 o 50X50, se vuelve cada vez más complejo, pero es esencialmente el mismo proceso en todas partes. de nuevo.

Cubriendo las filas y columnas para obtener un determinante más pequeño

Encontrar el determinante para matrices más grandes

Evaluar los determinantes de los determinantes más pequeños

Resumen de la lección

• Las matrices están etiquetadas por # filas X # columnas y a menudo se indican como MXN .
• Una matriz con el mismo número de filas y columnas se llama matriz cuadrada.
• Cualquier matriz cuadrada tiene un determinante, que es un valor numérico único asociado con la matriz.
• El determinante de una matriz de 1×1 es simplemente el único número en la matriz.
• El determinante de una matriz de 2×2 es ad – bc .
• Los determinantes de matrices más grandes se pueden calcular dividiéndolos en un grupo de matrices 2X2 más pequeñas.
• Lo que parecen barras de valor absoluto | | se colocan fuera del determinante para indicar que se nos pide que calculemos el determinante.