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Cómo usar el método de Newton para encontrar raíces de ecuaciones

Publicado el 1 octubre, 2020

Método de Newton


Los pasos para usar el método de Newton
Pasos del método de Newton

Recuerde que el método de Newton es una forma de encontrar las raíces de una ecuación. Por ejemplo, si y = f (x) , le ayuda a encontrar un valor de x que y = 0. El método de Newton, en particular, usa un método iterativo. Es decir, usted hace una suposición y la usa para encontrar otra suposición, una suposición mejor. El método es solo una forma de linealización (estimación). Estima que x sub ( n + 1) – esa es su próxima suposición – será igual a su suposición actual x sub ny sub n / f ‘( x sub n). Es decir, su próxima suposición es igual a su suposición actual menos el valor actual de y dividido por la derivada.

En este ejemplo, adivinamos x sub 0, hallamos el valor de y en x sub 0 y el valor de la derivada en x sub 0. Usamos esa información para encontrar una nueva estimación: x sub 1. Nuevamente, encontramos y en x sub 1, encontramos la derivada en x sub 1, y usamos esa información para encontrar otra suposición, x sub 2. Y continuaremos esto hasta que nuestro nuevo valor de x nos dé y = 0.

En la práctica, vas a comenzar con una suposición inicial, x sub 0. Vas a encontrar la derivada, f ‘(x) de tu ecuación, y luego vas a usar la ecuación de Newton para estimar x sub 1. Va a estimar x sub 2 (usando x sub 1), y así sucesivamente hasta que sus valores x converjan. Van a converger en algún lugar donde y = 0. Esto generalmente funciona (no vamos a entrar en los casos complejos en los que el método de Newton no funciona en este curso).

Entonces, ¿cómo uso el método de Newton? Generalmente hago una tabla para realizar un seguimiento de todas mis variables. Aquí está mi mesa:

X y y

Tengo x en una columna, y en una columna y la derivada, y ‘, en otra. Hago mi primera suposición, que sería la primera fila de esta tabla. Voy a adivinar x , y lo voy a conectar. Luego, encontraré qué son y e y ‘para ese valor de x . Usaré toda esa información en la ecuación de Newton para encontrar la siguiente fila (en particular, la siguiente x ). Voy a continuar desde ahí.


Usando el método de Newton para la ecuación f (x) = x ^ 2 + 3x – 4
Ejemplo 1 del método de Newton

Resolver la ecuación

Hagámoslo. Tenemos la ecuación f (x) = x ˆ2 + 3 x – 4. Cuando grafica esto, sé que forma una parábola. Ya creo que podría haber dos raíces, y probablemente pueda resolverlas a mano; pero para este caso, usaré el método de Newton.

Voy a usar x = 0 para mi primera suposición. Usaré mi ecuación de Newton, x sub n +1 = x sub ny sub n / f ‘( x sub n ). También puedo escribir esto como x sub nf ( x sub n ) / f ‘( x sub n ), y todo lo que he hecho es decir que f ( x sub n ) es lo mismo que y sub n. Conectemos nuestra f (x) y nuestra f ‘(x) en esa ecuación.

Primero, ¿qué es f ‘(x) ? Tomemos la derivada de f (x) y obtengo 2 x + 3. Usé la regla de la potencia para diferenciar x ˆ2 como 2 x . Luego tengo la derivada de 3 x , que es solo 3.

Conectemos f (x) y f ‘(x) en nuestra ecuación de Newton. Obtengo x sub n +1 = x sub n – ( x sub n ˆ2 + 3 x sub n – 4) / 2 x sub n + 3. Ahora tengo una ecuación. Solo necesito mi mesa y nos vamos.

Graficar la ecuación

Entonces, aquí está mi mesa:

X y y

Voy a usar una suposición inicial, x sub 0 = 0. Eso va en la primera línea, 0 para x . Cuando x = 0, f (x) (o y ) es -4 e y ‘= 3. Pongamos eso también en mi tabla:

X y y
0 -4 3

Usemos la ecuación de Newton para encontrar x sub 1. Si mi suposición inicial x sub 0 = 0, introduzco 0 en la ecuación. Obtengo x sub 1 (mi próxima suposición) es 4/3. Pongamos eso en la mesa. Digamos que es alrededor de 1.3. Si x es 1.3, puedo encontrar y conectando 1.3 en mi f (x) , y obtengo 1.8. y ‘(sustituyendo 1.3 en esta ecuación) es aproximadamente 5.66.

X y y
0 -4 3
1.3 1.8 5.66

Tengo mi segunda suposición, x = 1.3. Veamos qué nos da esto si lo conectamos a la ecuación de Newton, x sub n +1 = 1.3 – (1.3ˆ2 + 3 (1.3) – 4) / 2 (1.3) + 3. Eso me da mi siguiente conjetura; mi x sub 2 es 1.0. Si inserto 1 en f (x) , obtengo aproximadamente 0. Entonces, en x = 1, y = 0. Eso significa que x = 1 es una raíz de esta ecuación. ¡He usado el método de Newton para encontrar una raíz de esta ecuación!

X y y
0 -4 3
1.3 1.8 5.66
1.02 0

Ecuaciones complejas

Puede hacer esto para ecuaciones aún más complejas, como y = ( x – 1) ˆ3 – 1. Ahora voy a hacer una suposición inicial de x sub 0 = 0 y seguir el mismo patrón. Mi derivada es 3 ( x – 1) ˆ2. Aquí está mi mesa:

x sub n X y y
x sub 0 0 -2 3

Puedo conectar eso para encontrar x sub 1. Tengo 0 – 3. Puedo usar eso para encontrar x sub 1, (0 – (-2)) / 3. Eso me da 2/3. Cuando x = 0.67, obtenemos esto:

x sub n X y y
x sub 0 0 -2 3
x sub 1 0,67 -1.04 0,33

Usemos x sub 1 para encontrar x sub 2. Usemos mis valores x sub 1 para encontrar una nueva estimación, una para x sub 2. Voy a insertar los valores de la segunda fila para encontrar x sub 2 usando Ecuación de Newton, x sub 2 = x sub 1 – ( y sub 1 / f ‘( x sub 1)). Cuando conecto los números, encuentro esto:

x sub n X y y
x sub 0 0 -4 3
x sub 1 0,67 -1.04 0,33
x sub 2 3,78 20,43 23.15

Ahora, y no se está acercando a 0 en este punto, pero continuemos por uno o dos minutos más. Encuentro esto en mi próxima iteración:

x sub n X y y
x sub 0 0 -4 3
x sub 1 0,67 -1.04 0,33
x sub 2 3,78 20,43 23.15
x sub 3 2.9 5.81 10,77

Eso hace que y baje de 20 a 5, aunque todavía no es 0. Si continúo, eventualmente, en x sub 7 encuentro esto:

x sub n X y y
x sub 0 0 -4 3
x sub 1 0,67 -1.04 0,33
x sub 2 3,78 20,43 23.15
x sub 3 2.9 5.81 10,77
x sub 7 2,00 0,0001 3.0003

Voy a decir que x = 2 es una raíz, porque he redondeado x aquí, y la y , si la redondeara también, me daría 2. Efectivamente, si pongo 2 en mi inicial ecuación, obtengo (2 – 1) ˆ3 – 1. Eso es 1ˆ3 – 1, que es solo 0; entonces, x = 2 es una raíz de esta ecuación.

Revisión de la lección

Recapitulemos. El método de Newton es algo complicado, pero no es tan difícil si sigues un algoritmo muy simple. Primero, vas a hacer una suposición y la llamarás x sub 0. Vas a encontrar la derivada en este x sub 0, así como lo que y es igual a x sub 0. Los insertarás en la ecuación de Newton. para obtener una nueva estimación de x , llámelo x sub 1. Repita este proceso hasta que su valor de x le dé una y cercana a 0. En este punto, habrá encontrado una raíz de su ecuación; es decir, donde su ecuación f (x) = 0. Para hacer esto, recomiendo encarecidamente hacer una tabla para realizar un seguimiento de todos sus valores.

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