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Cómo usar la división sintética para dividir polinomios

Publicado el 18 septiembre, 2020

División sintética

Muchos estudiantes prefieren división sintética sobre la división larga e incluso argumentar por qué tienen que aprender la división larga. Necesita saber la división larga porque la sintética solo funciona cuando se divide entre un binomio de primer grado, por ejemplo, ( x + 3). Si está dividiendo por un polinomio más largo, digamos ( x 2 – 2 x + 5), ¡necesita usar la división larga!

Ejemplo # 1: Cómo dividir sintéticamente


En este primer ejemplo, x
2 + 5x + 7 está en orden descendente.
dividir sintéticamente

( x 2 + 5 x + 7) / ( x + 2)

En este punto, he visto la división sintética escrita de dos maneras. El primero tiene el divisor en una media caja en la parte superior izquierda; el otro parece un símbolo de división. Ambas formas son exactamente iguales, pero prefiero el símbolo de división.

Primero, si el dividendo no está en orden descendente, debemos hacerlo primero. Hablaré de las piezas que faltan en el siguiente ejemplo. Pero por ahora, ( x 2 + 5 x + 7) está en orden descendente. El divisor también debe estar en orden descendente. Y es: ( x + 2).

Escribe tu símbolo de división larga habitual. Coloque los coeficientes del dividendo debajo del símbolo, al igual que en la división larga, pero no escriba las variables. Asegúrese de dejar espacio entre cada número. No querrás confundirlos.

Luego, mire x + 2. Vamos a escribir -2 a la izquierda del símbolo de división larga. Siempre tomas lo contrario de lo que ves en el divisor. Entonces, dentro del símbolo de división larga, tendremos 1, 5 y 7. En el exterior, tendremos -2.

Nuestro primer paso es reducir el coeficiente principal , 1.

Multiplica 1 * -2 y coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente, 5. Entonces tienes -2 * 1, que es -2. 5 + (-2) es 3. (Escribe eso junto al coeficiente principal, 1.)


Multiplica 1 por -2 y coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente, 5.
dividir polinomios

Multiplica 3 por -2 y coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente, 7. Entonces, -2 * 3 es -6. Agregamos hacia abajo y obtenemos 1. (Así que tenemos 1 escrito al lado del 3.)

En la división sintética, el grado de la respuesta polinomial final es uno menos que el polinomio del dividendo. Dado que x 2 + 5 x + 7 es el grado 2, nuestra respuesta será el grado 1. ¿Cómo se verá esto?

Empezando por la izquierda, tendremos 1 x + 3 con un resto de 1. El resto se escribirá igual que si hubiéramos hecho este problema como una división larga: una fracción.

Entonces, nuestra respuesta se verá así:

x + 3 + 1 / ( x + 2)

Ejemplo # 2: Piezas faltantes

En este ejemplo, veamos un dividendo al que le faltan términos cuando lo escribimos en orden descendente.

( x 4 + 81) / ( x – 3)

Ambos están escritos en orden descendente, pero no tenemos x 3 , x 2 o x . En este caso, debemos colocarles un “marcador de posición”. Como no tenemos un número, vamos a escribir 0 x 3 , 0 x 2 y 0 x .

Escribe el símbolo de la división larga. 3 será nuestro divisor; ese es el número que va delante del símbolo de división larga. 1, 0, 0, 0, 81 es nuestro dividendo. Ahora, hacemos una división sintética como la anterior.

Derribamos nuestro líder 1.

Multiplicamos 3 * 1, que es 3, y sumamos. 0 + 3 = 3, y lo volvemos a hacer.

3 * 3 es 9. Sume: 0 + 9 es 9 y hágalo de nuevo.

3 * 9 es 27. 0 + 27 es 27.

Finalmente, 3 * 27 es 81, y cuando sumamos obtenemos 162.


Cuando sumamos, obtenemos 162.
partes faltantes

Ahora, escribamos nuestra respuesta final. Recuerde, el grado de respuesta es uno menos que el polinomio del dividendo. Entonces nuestra respuesta es:

x 3 + 3 x 2 + 9x + 27 + 162 / ( x – 3)

Ejemplo # 3: Problemas mayores

( x 4 + 15 x 3 + 58 x 2 – 24 x – 320) / ( x + 8)

Coloque los coeficientes del dividendo debajo del símbolo. Luego, observe x + 8. Vamos a escribir -8 a la izquierda del símbolo de división larga. Siempre tomas lo contrario de lo que ves en el divisor. Ahora estamos listos para la división sintética.

Nuestro primer paso es reducir el coeficiente principal, 1.

-8 * 1 es -8. Así que tienes -8 escrito debajo de 15. Sume 15 + (-8), que es 7, y lo voy a escribir junto a mi coeficiente principal de 1.

Multiplica -8 * 7, que es -56. Entonces tenemos -56 escrito debajo de 58. Vamos a sumar, 58 + (-56), que es 2, y voy a escribir el 2 al lado del 7.

Multiplica -8 * 2, que es -16. Así que hemos escrito -16 bajo -24. -24 + (-16) es -40, y lo escribo junto al 2.

Finalmente, tenemos -8 * -40, que es 320. Voy a tomar -320 + 320, que es 0. Resulta que nuestro resto va a ser 0.

El grado de la respuesta polinomial final es uno menos que el polinomio del dividendo. Dado que ( x 4 + 15 x 3 + 58 x 2 – 24 x – 320) es el grado 4, nuestra respuesta será el grado 3. ¿Cómo se verá esto?

Entonces tenemos (1 x 3 + 7x 2 + 2x – 40) con un resto de 0.

Resumen de la lección

Cosas para recordar:

  • Asegúrese de que su problema esté en orden descendente.
  • Crea la división escribiendo solo los coeficientes.
  • Recuerde, el número que sale del símbolo de división es el opuesto al original.
  • Reduce el coeficiente principal.
  • Multiplica el coeficiente por el número fuera del símbolo de división.
  • Suma ese número al siguiente coeficiente hasta que no tengas más coeficientes para multiplicar.
  • El grado de la respuesta polinomial final es siempre uno menos que el polinomio del dividendo.
  • ¡Y no olvides escribir el resto como fracción!

Objetivos de la lección

Una vez que complete esta lección, podrá dividir polinomios usando división sintética.

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