¿Cómo utilizo un sistema de ecuaciones?

Construyendo un sistema de ecuaciones

Probablemente el problema verbal de álgebra más conocido (que a menudo parece haber sido una experiencia traumática para la gente) tiene que ver con dos trenes que salen de la estación en direcciones opuestas. Por lo general, pregunta algo parecido a qué tan rápido iban o qué tan lejos estaban. Pero me gusta hacer que las matemáticas sean lo menos traumáticas posible, así que nos mantendremos alejados de los problemas de trenes y, en cambio, veremos un problema verbal clásico de diferencia.

Digamos que estás organizando una fiesta del Super Bowl y todos tus amigos te han dado $ 68 que vienen a gastar en pizza. Vas a conseguir pizza de queso o pizza de pepperoni. Las pizzas de queso cuestan $ 8 cada una y las pizzas de pepperoni cuestan $ 11 cada una. Como también podrías gastar todo el dinero (es de tus amigos, no tuyo) y también has decidido que 7 pizzas es la cantidad perfecta de comida, la pregunta es cuántas de las siete pizzas deberían ser de queso y cuántas de ellos debería ser pepperoni?

Podríamos intentar adivinar y revisar este problema, que podría funcionar para este, pero probablemente no funcionará para la mayoría de problemas como este. Así que preferimos usar este ejemplo como una oportunidad para aprender cómo hacerlo con matemáticas. Pero para hacerlo con matemáticas, primero tenemos que convertir las palabras en ecuaciones matemáticas. A menudo, esta puede ser la parte más difícil.

Para configurar esas ecuaciones, necesitamos averiguar cuáles son las variables que estamos buscando. Para eso, tendremos que volver al problema y averiguar qué es lo que realmente nos está pidiendo. Este problema es preguntarnos cuántas pizzas de queso y cuántas pizzas de pepperoni debemos comprar. Lo que significa que nuestras variables deben ser el número de pizzas de queso ( C ) y el número de pizzas de pepperoni ( P ). Cuando resolvemos esas dos cosas, sabremos cuántas debemos comprar.

Entonces, ahora que tenemos nuestras variables, tenemos que idear ecuaciones que representen la situación. Este problema va a necesitar dos ecuaciones para resolverlo porque hay dos variables, lo que significa que este es un sistema de ecuaciones , porque va a haber más de una.

La ecuación más fácil de encontrar es el hecho de que sabemos que tenemos que comprar un total de 7 pizzas. Hemos decidido que 7 pizzas es la cantidad perfecta. Como C es el número de queso y P es el número de pepperoni, y sabemos que el total tiene que ser 7, mi primera ecuación es el número de queso ( C ) más el número de pepperoni ( P ) debe ser igual a 7: C + P = 7.

La ecuación más difícil de encontrar tiene que ver con el precio y cuánto dinero tenemos y cuánto cuestan las diferentes pizzas. Lo que quiero hacer es establecer una ecuación que sea igual a 68. Debería decir que vamos a gastar $ 68. Esto significa que tengo que calcular cuánto dinero estoy gastando en mis pizzas de queso y cuánto dinero estoy gastando en mis pizzas de pepperoni.

Usando el método de sustitución para resolver C

Bueno, si pensamos en esto lógicamente, si comprara una pizza de queso, me costaría $ 8. Y si comprara dos, me costaría $ 16. Si comprara tres, me costaría $ 24 y así sucesivamente. Esto significa que el dinero total que gasto en mis pizzas de queso es simplemente 8 veces la cantidad de pizzas de queso que compro (8 C ). Una expresión muy similar podría derivarse de la cantidad de dinero que gasta en pizzas de pepperoni haciendo 11 veces la cantidad de pizzas de pepperoni que compra (11 P ).

Entonces, 8 C representa el dinero que gasta en pizzas de queso y 11 P representa el dinero que gasta en pizzas de pepperoni. Si suma esas dos cantidades juntas, esa es la cantidad total que gastamos. Y eso tiene que ser $ 68. Entonces, nuestra segunda ecuación, la un poco más complicada, es 8 C + 11 P = $ 68.

Resolver un sistema de ecuaciones con sustitución

Ahora que tenemos el sistema configurado, podemos comenzar a resolverlo. Vamos a repasar 2 formas de resolver un sistema de ecuaciones, la primera de las cuales se llama sustitución . Se llama así porque vamos a tomar una expresión de una ecuación y sustituirla por una de las variables en nuestra segunda ecuación.

Por ejemplo, podemos tomar la ecuación que dice C + P = 7, que nos dice el número total de pizzas que obtenemos, y podemos resolver esta ecuación para P deshaciendo C de ambos lados con la resta. Nos encontramos con una ecuación equivalente que dice que P = 7 – C .

Ahora que sé lo que es P , y como quiero que estas dos ecuaciones sean iguales, puedo sustituir en la segunda ecuación lo que ahora sé qué es P. Entonces, en lugar de escribir 8 C + 11 P = $ 68, puedo escribir 8 C + 11 (7 – C ) = $ 68. Ahora solo tengo una variable en una ecuación, que se puede resolver para esa variable.

Configurar ecuaciones para usar el método de eliminación

Puedo usar operaciones inversas para obtener la C por sí misma. Primero, distribuye el 11 a ambos términos: 8 C + 77 – 11 C = $ 68. Luego, puede combinar términos semejantes, agrupando los C s porque están en el mismo lado del signo igual: -3 C + 77 = $ 68. A continuación, deshace una suma de 77 con una resta de 77: -3 C = -9. Por último, pero no menos importante, deshaces una multiplicación de -3 con una división de -3 en ambos lados. Encuentra que C , el número de pizzas de queso que vamos a obtener, es 3: C = 3.

Ahora que sé el número de pizzas de queso, que es un proceso bastante fácil acaba de tomar eso y volver sustituto en la primera ecuación: P = 7 – C . Ahora sé que C es 3, lo que significa que P = 7 – 3. Esto significa que P es 4. Ahora sé cuántas pizzas de pepperoni debemos comprar.

Resolver un sistema de ecuaciones con eliminación

Entonces ese es el método de sustitución para resolver un sistema de ecuaciones. Pero hay otro método llamado método de eliminación , que es muy agradable de usar cuando mis dos ecuaciones están en forma estándar. Esto significa que mis dos ecuaciones tienen las C y las P del mismo lado.

El método de eliminación requiere que sumemos las dos ecuaciones para eliminar una de las variables. En este momento, si sumo estas dos ecuaciones, ninguna de mis variables se eliminará. Voy a terminar con 9 C y 12 P y eso realmente no me lleva a ninguna parte.

Pero si primero multiplico la ecuación superior por -8, y tengo que distribuirla en todo, cambia esa ecuación a: -8 C – 8 P = -56. Si dejo la ecuación inferior igual y ahora sumo las dos ecuaciones, mi C se cancela. Lo que hice es que hice los coeficientes (que es una palabra elegante para los números delante de las variables) en mis opuestos de variable C.

El 8 y el -8 se cancelan. Acabo de obtener 0 C . En el P ‘es, consigo -8 P más 11 P , que es 3 P . En el otro lado del signo igual, obtengo -56 más 68, que es 12: 0 C + 3 P = 12.

Resolviendo para P usando el método de eliminación

Ahora tengo una ecuación con una variable. Puedo resolver bastante rápido deshaciendo los tiempos 3 dividiendo entre 3, y encontramos que P = 4. La cantidad de pizzas de pepperoni es 4. Nuevamente, la misma respuesta.

Una vez que tenemos una respuesta, hacemos el mismo paso que hicimos en el método de sustitución. Tomamos nuestra única respuesta y la sustituimos nuevamente en una de las ecuaciones originales. Ahora sabemos que P = 4, así que sé que C + 4 = 7. Deshago la suma de 4 restando 4 y encuentro que C = 3. Necesitamos 3 pizzas de queso.

Revisión de la lección

Para repasar, el primer paso para resolver un problema verbal es identificar cuáles son las variables marcando: ¿qué pide el problema?

Una vez que sepa cuáles quiere que sean sus variables, debe configurar las ecuaciones. ¿Existe una variable? Entonces habrá una ecuación. ¿Hay dos variables? Luego, habrá dos ecuaciones y así sucesivamente.

El tercer paso, el último paso, es resolver el problema utilizando el método de sustitución o el método de eliminación. La sustitución es buena cuando una ecuación ya está resuelta para una variable. Por ejemplo, cuando una de las ecuaciones ya dice x = o y = o c =. Requiere que tome esa expresión y la sustituya en la otra ecuación por esa misma expresión, luego resuelva las variables usando operaciones inversas.

La eliminación es buena cuando ninguna ecuación se resuelve para una variable, lo que significa que ambas ecuaciones están en forma estándar (las x y las y están en el mismo lado). Entonces es tu trabajo hacer que cualquiera de los pares de coeficientes sean números opuestos multiplicando una o ambas ecuaciones por algo que convierta los coeficientes en opuestos. Una vez que sean opuestos, puede sumar las ecuaciones para eliminar una de las variables. Luego, de nuevo, resuelve la variable restante usando operaciones inversas y reemplázala para encontrar la segunda.