Comparar propiedades de funciones gráficamente

Reconocer gráficas de funciones

Mucha gente en el mundo tiene una mascota. Algunas personas tienen perros, algunas tienen gatos, algunas tienen pájaros, algunas tienen peces y algunas incluso tienen tarántulas. Pero para esta lección, hablemos solo de pescado. Una visita a una tienda de mascotas le sorprenderá con la cantidad de tipos diferentes de pescado que puede tener. Hay Bettas, peces ángel y bagres.

Peces en un acuario

¿Bagre? ¡El bagre no se ve así! Eso no es un pez en absoluto. ¡Eso es un gato en un acuario!

Las funciones son así. Las imágenes de funciones, o los gráficos de funciones, tienen características específicas que hacen obvio que son funciones.

Funciones lineales

Las funciones lineales son realmente fáciles de reconocer. De hecho, casi todas las gráficas de una línea son funciones. De hecho, todas estas son funciones: y = 20 x , y = ¾ x + 3, incluso la gráfica de y = 4 es una función.

Funciones lineales

Pero hay un tipo de ecuación lineal que no es una función. ¿Puedes pensar en lo que podría ser? ¡Tendría que ser algo diferente, como un gato en un acuario!

Eche un vistazo a este gráfico:

Ecuación lineal que no es una función

Esto es igual a esto:

Esta línea no es una función, como si este gato no fuera un pez.

¿Por qué? ¿Recuerdas la definición de función? Una función es una relación algebraica donde cada entrada tiene una salida distinta. Recuerde que la entrada tenía un nombre especial: el dominio es el conjunto de valores de entrada ( x ) y el rango es el conjunto de valores de salida ( y ). Entonces, la definición de función significa que por cada valor de x hay exactamente un valor de y , ni más ni menos.

Es como describir lo que es un pez mascota. Un pez tiene ojos, boca, branquias y aletas. En álgebra, funciona de manera muy similar.

y = 2 x – 2. Para x = 0, y = -2. Para x = 1, y = 0 y para x = 2, y = 2.

Veamos otra función:

Para x = 0, y = 3. Para x = 4, y = 6. Para x = 8, y = 9.

Una función más:

Para x = 0, y = 4. Para x = 1, y = 4. Para x = 2, y = 4. ¡ y siempre será igual a 4! No importa lo que pongamos en nuestra máquina de funciones, siempre produce un 4.

¿Satisface esto nuestra definición de función? La función es una relación algebraica donde cada entrada tiene una salida distinta. Cuando x = 0, y = 4. 4 es la única salida para x = 0. No hay otra. Cuando x = 1, y = 4. 4 es la única salida para x = 1. No hay otra. Cuando x = 2, y = 4. 4 es la única salida para x = 2. No hay otra. Cada vez que ingresamos algo, solo obtendremos una respuesta.

Echemos un vistazo a una relación que no es una función:

Cuando x = 1 … ¿Cómo podemos poner eso en la ecuación? No podemos ponerlo ahí. x es siempre 4. Bien, empecemos de nuevo. Cuando x = 4, ¿a qué es igual y ? Mira la gráfica. Elijamos uno. y = 1. Cuando x = 4, entonces y = 2. Cuando x = 4, entonces y = 10.

Mire la tabla t (en el lado derecho de la imagen de arriba). Ahora miremos la tabla para una función a continuación. Mira otro, y otro, y otro:

Estas son tablas para funciones.

¿Notas la diferencia?

La función es una relación algebraica donde cada entrada tiene una salida distinta. ¿Observa que en todas las funciones, cuando ponemos 1 entrada obtenemos una salida diferente? ¿Una salida distinta? Pero cuando la relación no es una función, cada vez que ponemos un valor diferente de y , obtenemos el mismo valor para x . Cada elemento del rango tiene el mismo valor en el dominio.

Gráficos de funciones no lineales

Veamos algunas gráficas de funciones no lineales. Bueno, esto es obviamente un gráfico, pero ¿es una función o no?

Miremos un poco más de cerca. Cuando x = -2, y = 4. Cuando x = -1, y = 1. Cuando x = 0, entonces y = 0. Cuando x = 1, y = 1. Cuando x = 2, y = 4 Repita valores del rango, y = 1 e y = 4, ¿hacen que esto no sea una función?

La función es una relación algebraica donde cada entrada tiene una salida distinta. Aquí está la pregunta: si ingreso -1 en mi función, ¿alguna vez obtendré algo que no sea 1? Si ingreso 0 en la función, ¿alguna vez obtendré algo más que 0? Si ingreso 2 en la ecuación, ¿obtendré algo además de 4? ¡Esa es la razón por la que esta ecuación es una función!

Veamos una ecuación no lineal más. Aquí está la ecuación para y ^ 2 = x . Veamos si se trata de una función. Cuando x = 0, entonces y = 0. ¡Hasta ahora todo bien! Cuando x = 1, ¿a qué equivale y ? Mira el gráfico:

Ésta no es una función.

Indica que cuando x es 1, y es tanto 1 como -1. ¡Esto no es una función! Una función es una relación algebraica donde cada entrada tiene una salida distinta. Esta relación muestra que para x = 1 hay dos resultados posibles. Por tanto, no es una función.

Prueba de línea vertical

Existe una forma muy sencilla de determinar si una gráfica es una función. Lo llamamos la prueba de la línea vertical. Si tenemos una gráfica de una relación y deslizamos la línea vertical a través de ella, solo llegará un punto a la vez si la relación es una función. Si la línea vertical alguna vez toca más de un punto en el gráfico a la vez, la relación no es una función.

¿Que tal este?

Una última no función

Si lo piensa bien, ¡esta relación tiene un número infinito de salidas para esta 1 entrada! ¡Esta es la última no función!

Resumen de la lección

Una función es una relación algebraica donde cada entrada tiene una salida distinta. Esto produce un gráfico único. Las gráficas de funciones pueden ser lineales. Cada valor de x indica solo 1 valor de y .

Hay un tipo de relación lineal que no es una función y es cuando la gráfica forma una línea vertical. Este gráfico muestra que para x = 4, hay múltiples valores de y :

Este gráfico no es una función.

La forma más sencilla de comprobar si un gráfico representa una función es utilizar la prueba de la línea vertical. Si la línea vertical toca solo un punto de la línea a la vez, entonces sabe que tiene una función. Si la línea vertical alguna vez toca más de un punto a la vez, la gráfica no es una representación de una función.

¡Ahora reconocer funciones es tan fácil como distinguir entre un pez y algo que no es un pez!

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, podrá:

• Definir función
• Explica cómo identificar si una gráfica es una función.