Rodrigo Ricardo

Completar los problemas de práctica de Square

Publicado el 18 septiembre, 2020

Completando el cuadrado

Completar el cuadrado es una de las cosas más difíciles que se te pedirá que hagas en una clase de Álgebra. No solo requiere que aprenda un montón de habilidades nuevas, sino que también deberá recordar muchas más antiguas. Antes de sumergirnos en algunos problemas de práctica, repasemos rápidamente los conceptos básicos.

Completar el cuadrado convierte una ecuación cuadrática en forma estándar en una en forma de vértice. Un trinomio en forma estándar ( y = ax 2 + bx + c ) se puede factorizar en un binomio cuadrado perfecto siempre que el valor de c al final sea igual a ( b / 2) 2 . Si el valor c de su trinomio no es naturalmente igual a esta cantidad exacta exacta, puede ‘completar el cuadrado’ realizando operaciones en ambos lados de la ecuación para forzar el valor c a ser exactamente lo que usted desea.


Completar el cuadrado convierte una ecuación cuadrática en forma estándar en una en forma de vértice.
completando el cuadrado

Ejemplo 1

Entonces, ¿cómo se ve esto en la práctica? Intentemos cambiar esta ecuación en forma estándar ( y = x 2 – 20 x – 25) en forma de vértice completando el cuadrado. Eso nos obliga a convertir este trinomio en un binomio cuadrado perfecto. Para que esto funcione, el valor c del trinomio debe ser el número exacto correcto: ( b / 2) 2 . Comprobemos si este ya es el valor correcto. En este caso, nuestro valor b es -20, entonces -20/2 = -10 y (-10) 2 = 100, por lo que todavía no estamos en buena forma. Ahora mismo nuestro c-valor es -25 pero necesitamos que sea 100. Afortunadamente, esta es una ecuación, lo que significa que podemos sumar o restar algo de ambos lados del signo igual para cambiar el valor c en exactamente lo que queremos que sea .

En este caso, cambiar -25 por 100 significa que tendremos que sumar 125 a ambos lados de la ecuación, dejándolo así: y + 125 = x 2 – 20 x + 100. En este punto, siempre que no he cometido un error, ahora podemos factorizar el trinomio. La factorización requiere que busquemos dos números que sumen el término medio, -20, y multipliquemos a la constante al final, 100. Examinar rápidamente los factores de 100 y luego encontrar un par de ellos que sumen – 20. Entonces, -10 y -10 son nuestros dos ganadores, lo que significa que puedo factorizar el trinomio de la derecha como ( x – 10) ( x -10). Lo que significa que la nueva ecuación se verá así: y + 125 = ( x – 10) ( x-10). Como los x – 10 son iguales, puedo combinarlos en uno y escribirlo como un binomio cuadrado, ( x – 10) 2 , dejando nuestra ecuación así: y + 125 = ( x – 10) 2 . ¡Ahora hemos completado el cuadrado! Todo lo que queda por hacer es mover el 125 al otro lado para que el cuadrático esté en forma de vértice. Eso hace que y = ( x – 10) 2 – 125 sea la misma ecuación que antes, simplemente expresada de manera diferente, y es nuestra respuesta final.


La respuesta final es la misma ecuación que antes, expresada de manera diferente.
forma de vértice

Como nota: completar el cuadrado también se usa a menudo para resolver ecuaciones cuadráticas. Si en cambio, este problema no hubiera dicho completar el cuadrado, sino resolver, y en lugar de y tuviéramos un cero, habríamos obtenido una ecuación que se ve así: 0 = ( x – 10) 2 -125. Ahora simplemente podemos usar operaciones inversas para resolver x deshaciendo el 125, deshaciendo el cuadrado con una raíz cuadrada y deshaciendo -1 con un +1 para obtener nuestra respuesta, así: 1 +/- la raíz cuadrada de 125 = x . A menudo, esto es lo que usará para completar el cuadrado: una forma de resolver una ecuación cuadrática que no es factorización o la fórmula cuadrática.

Aunque puede parecer un proceso bastante largo, en realidad fue un ejemplo sencillo. Aunque el otro problema que haremos durante esta lección será básicamente el mismo, tendrá algunas complejidades que lo harán un poco más complicado.

Ejemplo # 2

En primer lugar, las direcciones van a ser un poco diferentes: si y = 6 x 2 + 30 x + 18 se expresa en la forma y = a ( xh ) 2 + k , ¿cuál es el valor de k ? Diferentes palabras, pero la misma idea. Ahora, sin embargo, una vez que lo hemos cambiado a la forma de vértice, la respuesta es simplemente el valor k y no la ecuación completa. Pero está bien, lo mismo.


¿Cuál es el valor de K?
Resolviendo para K

Muy bien, comencemos. Sin embargo, de inmediato hay algo más que es diferente. Nuestro un valor P no es 1. Hmm, está bien. Bueno, mirando la forma de vértice aquí, veo que el de un valor P está en el exterior de los paréntesis. Eso significa que tendremos que factorizarlo fuera del trinomio antes de poder convertirlo en un binomio cuadrado perfecto. Afortunadamente, cada término de este trinomio es divisible por tres, por lo que no será tan malo, pero a veces este no será el caso. Entonces, necesito dividir un 6 de cada término en el lado derecho. Hacer eso nos deja con esto: y = 6 ( x 2 + 5 x + 3). Ahora estamos listos para verificar si nuestro valor c sigue el patrón. Eso’b / 2) 2 , que en este caso será (5/2) 2 . Oh, oh, otro obstáculo. Esta vez vamos a tener una fracción o un decimal. La última vez, nuestro valor b era un número par, por lo que dividirlo por 2 no fue un gran problema. Pero esta vez es extraño, haciendo las cosas un poco más complicadas pero factibles. (5/2) 2 , o 2.5 2 , nos da 25/4 (si queremos usar fracciones) o 6.25 (si queremos usar decimales). Entonces, ahora sabemos cuál debe ser nuestro valor c . Vemos nuestro problema tal como es y nos damos cuenta de que aún no ha llegado al final (3 no es lo mismo que 6.25).


Convierta el valor de c actual en 6.25.
valor c

Convertir nuestro valor c actual , 3, en 6.25 requerirá que agreguemos 3.25, pero tendremos que tener cuidado. Cuando sumamos 3,25 al trinomio en el interior del paréntesis, en realidad estamos sumando 6 * 3,25 a todo ese lado de la ecuación. Dado que cualquier cosa que hagamos con un lado de la ecuación tenemos que hacer con el otro, necesitamos sumar 19,5 a la izquierda, no solo 3,25. Hacer eso nos deja con esto: y + 19.5 = 6 ( x 2 + 5 x + 6.25). ¡Muy bien, estamos progresando! Nuestro trinomio finalmente está listo para ser factorizado, y esta vez usemos el atajo. Siempre que hayamos hecho todo bien, x 2 + 5 x + 6.25 debe factorizarse como ( x+ 2.5) ( x + 2.5) porque ese 2.5 es la mitad de nuestro valor b , 5. Luego, comprimiendo la forma factorizada como un binomio cuadrado, ( x + 2.5) 2 , y luego deshaciendo el 19.5 para escribir la ecuación en forma de vértice , así, y = 6 ( x +2.5) 2 – 19.5, nos permite responder la pregunta ‘¿Qué es k ?’ Bueno, k es la constante al final, entonces k es -19.5.

Este último ejemplo es casi tan difícil de completar para completar el cuadrado. Con suerte, se siente lo suficientemente seguro como para probar los ejemplos del cuestionario que sigue a este video usted mismo.

Resumen de la lección

Para revisar, para completar el cuadrado, necesitamos cambiar el valor c en nuestro trinomio para que sea ( b / 2) 2 . Si usted tiene un un -valor que no es igual a 1, usted necesitará primer factor que el valor de cada término en el trinomio antes de poder continuar. Esto también significa que tendrá que tener cuidado de multiplicar por este factor al decidir cuánto agregar a ambos lados al hacer que su valor c sea la cantidad correcta. Si terminas con un valor b impar en tu trinomio, terminarás con fracciones o decimales en tu respuesta, ¡pero está bien!

Objetivos de la lección

Una vez que termine esta lección, podrá completar el cuadrado.

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