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Comprensión de la sustitución trigonométrica

Publicado el 1 octubre, 2020

Sustitución de activadores

Cuando estaba aprendiendo a conducir, siempre le preguntaba a mi mamá si podía conducir hasta el centro comercial. Ella dijo que no se me permitió conducir ni obtener mi licencia de conducir hasta que aprendiera a conducir una palanca de cambios. Ahora bien, no pensé que esto fuera particularmente justo, porque mi objetivo era simplemente llegar al centro comercial y quería hacerlo conduciendo un automóvil. Sabía que una palanca de cambios era el camino más difícil; en cambio, quería tomar mi auto con palanca de cambios y convertirlo en automático porque sabía que conducir una automática sería mucho más fácil.

Esto se parece mucho a una sustitución de trigonometría en matemáticas. El objetivo de la sustitución de trigonometría es utilizar la sustitución basada en identidades de trigonometría. Usaremos la sustitución basada en triángulos rectángulos para facilitar la integración. Entonces, aquí, su objetivo podría ser evaluar una integral, pero desea hacerlo encontrando una anti-derivada. Antes de usar la sustitución correcta, es posible que tenga un lío complicado en sus manos, pero después de usar la sustitución trigonométrica, la vida puede ser un poco más simple.

Ejemplo 1

Así que tomemos un ejemplo. Digamos que tienes la integral de (1 / la raíz cuadrada de (1 – x ^ 2)) dx . Puedo asignar a un triángulo rectángulo, es decir, aquel en el que tengo una , b y c , donde c es la hipotenusa. Según el teorema de Pitágoras, sé que a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. Un triángulo rectángulo que se parece un poco a esta ecuación es si tengo 1 en la hipotenusa, x en uno de los lados y luego, según el teorema de Pitágoras, sé que el otro lado es la raíz cuadrada de (1 – x ^ 2 ).

Entonces, ¿por qué lo mapeo así? Bueno, quiero que este triángulo sea lo más simple posible, pero que parezca mi integral. Así que aquí tengo un 1 (que es para este valor aquí), y tengo una x para este valor aquí y en este tercer lado, como resultado de los otros dos, tengo la raíz cuadrada de (1 – x ^ 2). Dibujo mi triángulo de esta manera para que este término de aspecto complicado sea solo un lado de mi triángulo.


Lista de sustituciones de trigonometría
Hoja de referencia de sustituciones de activadores

Hoja de referencia de sustitución de activadores

Seré honesto. En general, las sustituciones de trigonometría son muy difíciles. Es difícil verlos y, por lo general, cuando ve una sustitución de trigonometría, es posible que desee ver cómo resolver su problema de manera diferente. Pero a veces no puedes evitarlos. Entonces, ¿cuáles son algunas reglas que podrían ayudarnos a encontrar sustituciones que tengan un poco de sentido? Bueno, si tienes una función que depende de una constante al cuadrado, C ^ 2 + x ^ 2, entonces deberías considerar usar la sustitución x es igual a C por la tangente de theta , que escrito en forma de símbolo es x = C * tan ( theta ). Aquí, reemplazará x en su integrando con una nueva variable,theta . Cuando use esta sustitución en particular, tenga en cuenta que 1 más la tangente al cuadrado de theta es igual a la secante al cuadrado de theta (1 + tan ^ 2 ( theta ) = sec ^ 2 ( theta )). Esta es una identidad trigonométrica.

Si, por otro lado, tiene una función que depende de una constante al cuadrado menos x ^ 2, es posible que desee considerar la sustitución x es igual a C por el seno de theta ( x = C * sin ( theta )). Cuando use esta sustitución, es posible que desee recordar la identidad trigonométrica 1 menos el seno al cuadrado de theta es igual al coseno al cuadrado de theta (1 – sin ^ 2 ( theta ) = cos ^ 2 ( theta )).


Usando la sustitución de trigonometría por ejemplo # 1
Ejemplo 1 Sustitución de activadores

Finalmente, si tiene x ^ 2 – C ^ 2 – entonces alguna constante al cuadrado – es posible que desee considerar usar la sustitución x es igual a C por la secante de theta ( x = C * sec ( theta )). Si usa esta sustitución trigonométrica, tenga en cuenta que la secante de identidad trigonométrica al cuadrado de theta menos 1 es igual a la tangente al cuadrado de theta (sec ^ 2 ( theta ) – 1 = tan ^ 2 ( theta )).

Ejemplo n. ° 1, continuación

Volvamos a nuestro ejemplo de (1 / la raíz cuadrada de (1 – x ^ 2)) dx . Como tenemos 1 – x ^ 2, es como 1 ^ 2 – x ^ 2. Entonces, de acuerdo con nuestra pequeña hoja de trucos de sustituciones, podríamos considerar usar la sustitución x = C * sin ( theta ), donde C es solo 1.

Entonces hagamos una sustitución, x = sin ( theta ), y si tomamos la derivada de eso, obtenemos dx = cos ( theta ) * d * theta . Si conecto esos en mi integral, mi integral se convierte en 1 / la raíz cuadrada de (1 – sin ^ 2 ( theta )) * (cos ( theta ) * d * theta ), donde esto es de dx y esto es de x . Ahora, inicialmente, podrías pensar: ‘Bueno, eso no me está ayudando realmente’. Quiero decir, bien, pasamos de x ^ 2, esta raíz cuadrada de (1 – x^ 2) a la raíz cuadrada de (1 – sin ^ 2), pero también agregamos este coseno en la parte superior aquí. Entonces, ¿qué hizo esto? Aquí usamos nuestro conocimiento de trigonometría. Recuerda que 1 = sin ^ 2 ( theta ) + cos ^ 2 ( theta ). Si resto sin ^ 2 ( theta ) de ambos lados, obtengo 1 – sin ^ 2 ( theta ) = cos ^ 2 ( theta ). Entonces, este fondo aquí se convierte en la raíz cuadrada de cos ^ 2 ( theta ); eso es solo cos ( theta ). Y así termino con mi integrando: cos ( theta ) / (cos ( theta ) * d * theta ), y eso simplemente se cancela de modo que toda mi integral se reduce a d * theta.


Trabajando con el segundo ejemplo
Resolver el ejemplo 2 de sustitución de triggers

Sé cómo integrar d * theta . Eso es como integrar 1, y la integral de 1 es, en este caso, theta más alguna constante de integración. Siguiendo nuestras reglas de sustitución, necesitamos volver a poner x en esta ecuación volviendo a poner theta . Entonces, ¿qué es theta ? Bueno, theta lo definimos como x = sin ( theta ). Si quiero resolver theta , tomo la inversa sin ( x ) = el seno inverso de sin ( theta ), lo que significa que la inversa sin ( x ) es igual a theta (sin ^ -1 ( x) = theta ). Puedo tapar que en, y me parece que mi integral de (1 / la raíz cuadrada de (1 – x ) ^ 2) dx es igual a sin ^ -1 ( x ), además de una constante de integración C . También podemos llamar a esto el arco seno de x + C .

Ejemplo # 2

Hagamos un ejemplo ligeramente diferente. Digamos que queremos encontrar la integral de (1 / (4 + x ^ 2)) dx . Bueno, ahora estoy viendo un triángulo con lados x y 2 y una hipotenusa que es la raíz cuadrada de 4 (eso es 2 ^ 2) + x ^ 2. Entonces veo este 4 + x ^ 2 y creo que podría querer usar alguna sustitución de trigonometría aquí. Entonces, ¿en qué sustitución debería pensar?

Bueno, tengo este C ^ 2 + x ^ 2, donde mi C es 2 porque tengo 4 + x ^ 2, que es como decir que tengo 2 ^ 2 + x ^ 2. Entonces voy a usar la sustitución x = 2 * tan ( theta ). Si x = 2 * tan ( theta ), entonces dx = 2sec ^ 2 (theta) * d * theta , porque la derivada de la tangente es la secante al cuadrado. Si los conecto, obtengo 1/4 + 4tan ^ 2 ( theta ) – porque eso es x ^ 2 – por 2sec ^ 2 ( theta ) * d * theta , donde este es midx de antes. Bueno, 4 + 4tan ^ 2 ( theta ) es como 4 veces 1 + tan ^ 2 ( theta ), y puedo usar una identidad trigonométrica donde 1 + tan ^ 2 ( theta ) = sec ^ 2 ( theta ), y puedo reescribir este término como 4sec ^ 2 ( theta ).


Conectando x de nuevo por ejemplo # 2
Ejemplo 2 Sustitución de activadores

Entonces ahora tengo 2sec ^ 2 ( theta ) / (4sec ^ 2 ( theta ) * d * theta ). Todos estos sec ^ 2 ( theta ) se cancelan, y puedo factorizar 2 de la parte superior e inferior, por lo que termino con la integral de 1/2 ( d * theta ). Bueno, una vez más, esa es una integral bastante fácil. Sé que eso equivale a 1/2 ( theta ) + una constante de integración. De nuevo, ¿qué es theta ? Vamos a deshacernos de eso y poner x de nuevo. Bueno, si x es 2tan ( theta ), entonces puedo resolver esto para theta dividiendo ambos lados por 2 y tomando la tangente inversade ambos lados. Entonces theta es tan ^ -1 ( x / 2). Mi integral es entonces un medio (tan ^ -1 ( x / 2)) + una constante de integración C .

Resumen de la lección

Por lo tanto, el objetivo con las sustituciones de trigonometría es utilizar sustituciones basadas en identidades de trigonometría, y lo hace para facilitar su integración. Esta es solo otra forma de sugerir qué tipo de sustitución de u simplificará una integral. Entonces, las sugerencias son, si tiene algún número C ^ 2 + x ^ 2, use x = C * tan ( theta ), donde theta es ahora la variable sobre la que está integrando. Si tiene C ^ 2 – x ^ 2, use x = C * sin ( theta ). Por último, si tiene x ^ 2 – C ^ 2, use x =C * seg ( theta ).

Si usa estas sustituciones y recuerda algunas identidades trigonométricas, las sustituciones trigonométricas pueden simplificar sus integrales y hacerlas tan fáciles como conducir un automóvil automático al centro comercial.

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