Congruencia de triángulos isósceles: demostrando el teorema

Publicado el 22 septiembre, 2020 por Rodrigo Ricardo

Si, entonces

Aquí hay un triángulo isósceles.

Triángulo isósceles

Sabemos que es un triángulo isósceles porque tiene dos lados iguales. Esa es la definición de un triángulo isósceles. Pero si es un triángulo isósceles, ¿qué más podemos probar?

La geometría está llena de estos si, entonces declaraciones, al igual que la vida. Algunos de ellos son sencillos. Si una figura tiene cuatro lados iguales y cuatro ángulos rectos, entonces es un cuadrado. Eso es como decir que si vas a nadar, te vas a mojar. Realmente no hay ambigüedad allí.

Con un triángulo isósceles, hay algunas afirmaciones del tipo “si, entonces” que parecen lógicas, pero debemos probarlas para estar seguros. Es como decir que si haces guacamole, será genial. No podemos estar seguros de esto hasta que hagas guacamole, ¿verdad? Entonces tenemos que probarlo muestreando algunos. Y tal vez no estemos tan seguros con solo una probada. ¿Por qué no probamos un cuenco entero? Entonces lo sabremos con seguridad.

De todos modos, un triángulo isósceles tiene partes que podemos etiquetar. A los lados iguales de los triángulos isósceles los llamamos catetos . El tercer lado se llama base . Los ángulos frente a las piernas se denominan ángulos de base .

Sabemos que nuestro triángulo tiene lados o catetos iguales, pero intentemos demostrar un teorema. Hay un teorema que establece que si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos lados también son congruentes. ¿Es verdadera esta afirmación ‘si, entonces’?

Prueba de teorema

Demostremos el teorema. Aquí está el triángulo ABC.

Triángulo isósceles ABC con lados iguales marcados

Se nos da que AB es congruente con AC. Por lo tanto, se establece su ‘isósceles-iness’. Queremos demostrar que el ángulo B es congruente con el ángulo C.

Primero, digamos lo que sabemos. AB es congruente con AC. Eso es dado. Ahora, agreguemos un punto medio en BC y llamémoslo M y una línea de A a M. Esta es una línea mediana.

Entonces podemos afirmar que BM es congruente con MC. A continuación, digamos que AM es congruente con AM debido a la propiedad reflexiva, también conocida como, bueno, es la misma línea.

AB y AC, BM y MC, y AM y AM. Son tres lados de los dos triángulos formados cuando sumamos la mediana. Entonces, el triángulo ABM es congruente con el triángulo ACM debido al postulado lado-lado-lado.

Eso nos permite afirmar que el ángulo B es congruente con el ángulo C porque las partes correspondientes de los triángulos congruentes son congruentes, o CPCTC.

¡Entonces nuestro teorema es verdadero! Eso es casi tan satisfactorio como darse cuenta de que su guacamole es increíble.

Prueba Converse

Demostramos nuestro teorema, pero ¿qué pasa con su inverso? La inversa de una declaración ‘si, entonces’ es complicada.

Podríamos decir ‘si corro con una tortuga, siempre ganaré la carrera’. Probablemente eso sea cierto, especialmente porque aprendí algo de esa liebre sobre no subestimar a nuestra amiga tortuga. Pero lo contrario de esa afirmación es ‘si gano la carrera, entonces competí con la tortuga’. Eso no es necesariamente cierto, ¿verdad? Tal vez pueda superar a todo tipo de animales lentos, como perezosos de tres dedos.

Consideremos el inverso de nuestro teorema del triángulo. Eso sería “si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos también son congruentes”.

Bien, aquí está el triángulo XYZ.

Triángulo XYZ con bisectriz de ángulo B

Sabemos que el ángulo Y es congruente con el ángulo Z. ¿Podemos probar que XY es congruente con XZ?

De nuevo, comencemos por decir lo que sabemos. El ángulo Y es congruente con el ángulo Z. Ahora agreguemos una bisectriz de ángulo de X a YZ. Si agregamos el punto B, podemos llamar a esta línea XB. Una línea de bisectriz de ángulo divide el ángulo en dos partes iguales. Entonces podemos afirmar que el ángulo YXB es congruente con el ángulo ZXB. A continuación, digamos que XB es congruente con XB. Esa es la propiedad reflexiva.

Ahora podemos afirmar que el triángulo YXB es congruente con el triángulo ZXB. ¿Por qué? Este es el teorema de ángulo-ángulo-lado, o AAS. Si no recuerda AAS, puede determinar que nuestros dos últimos ángulos, XBY y XBZ, son congruentes ya que son los dos últimos ángulos restantes de los triángulos.

Pero usemos AAS. Y ahora podemos afirmar que XY es congruente con XZ debido a CPCTC. Por tanto, el inverso de nuestro teorema también es cierto. Eso es como descubrir que el único animal al que puedo dejar atrás es una tortuga. ¿Me superó un perezoso? Quizás lo hice.

Resumen de la lección

En resumen, probamos dos afirmaciones ‘si, entonces’ que se relacionan con triángulos isósceles. Demostramos el teorema que establece que si dos lados de un triángulo son congruentes, entonces los ángulos opuestos a estos lados también son congruentes . También probamos lo contrario, que establece que si dos ángulos de un triángulo son congruentes, entonces los lados opuestos a estos ángulos también son congruentes .

Resultado de aprendizaje

Terminar esta lección en video podría aumentar su capacidad para hacer lo siguiente:

  • Ilustra un triángulo isósceles
  • Demuestre la congruencia del teorema de triángulos isósceles y su inverso
  • Usa el teorema de ángulo-lado-ángulo

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