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Construyendo la mediana de un triángulo

Publicado el 22 septiembre, 2020

Dividiendo igualmente

Conoce a Maddie y Emma. Ellos son gemelos. Todo lo que Maddie obtiene, Emma también necesita obtenerlo, y viceversa. Cuando Maddie consiguió una bicicleta, Emma también. Cuando Emma comenzó a jugar fútbol, ​​también lo hizo Maddie. Cuando Maddie se puso frenillos, bueno, Emma estaba bien dejando que Maddie tuviera ese.

Los padres de Maddie y Emma están acostumbrados a dividir todo por igual. Esa es una de esas habilidades que también son útiles en geometría. Considere este triángulo que tiene Maddie.

 Triángulo con vértices ~

Es tan grande. Tiene una A , B y C en sus esquinas. Cada esquina incluso tiene un nombre elegante: vértice (o vértices para más de uno).

Emma también quiere uno. Pero ese es el último triángulo. ¡Oh no! Necesitaremos dividirlo por igual.

Medianas

Dibujemos una línea desde A hasta el centro del lado opuesto, BC . A esto lo llamamos mediana y podemos definirlo como una línea trazada desde el vértice de un triángulo hasta el punto medio del lado opuesto.


Una línea desde un vértice hasta el punto medio del lado opuesto es una mediana
triángulo con mediana

Cuando hacemos esto, ¿qué pasa con BC ? Dado que este nuevo punto, F , es el punto medio, hemos creado dos segmentos de línea iguales. BF = FC . El punto medio es solo el punto en el medio. Tiene sentido, ¿verdad?

Y ahora tenemos dos triángulos: uno para Maddie y otro para Emma. Se restablece la paz.

Pero espera, ahora aparecen cuatro de sus amigos. Ya sabes cómo son los niños con sus triángulos. Todos quieren uno. Afortunadamente, a los triángulos les gustan las cosas de tres: tres lados, tres ángulos, tres vértices y, sí, tres medianas.

Agreguemos una mediana de B a AC y llamémosla BE . Luego agreguemos una mediana de C a AB y llamémosla CD . Y mira lo que obtenemos.


Dibujar tres líneas medianas crea seis triángulos
Un triángulo con tres líneas medianas dibujadas crea seis triángulos

Ahora tenemos seis triángulos. Son más pequeños, seguro, pero volvemos a tener paz momentánea.

Centroide

Si bien todos están contentos con sus triángulos, veamos lo que sucedió. Nuestras tres medianas, AF , BE y CD tocan los puntos medios de los lados del triángulo. Eso es lo que las convierte en medianas. Entonces, además de BF igual a FC , AD = DB y AE = EC .

Pero que mas Tenga en cuenta que todos ellos se encuentran en un punto dentro del círculo, G . No importa cómo se vea nuestro triángulo. En cualquier triángulo, las tres medianas se encuentran en un punto.


Las medianas de un triángulo se cruzan en un punto, el centroide
las medianas del triángulo se cruzan en el centroide

A este punto lo llamamos centroide . Esto se define oficialmente como el centro de masa de un polígono bidimensional.

La palabra centroide me recuerda a android. Imagina un androide triangular y bidimensional. Hmm, no es muy bueno para hacer estallar las Estrellas de la Muerte o salvar a Sigourney Weaver de los extraterrestres. Pero Centroid el androide tiene un truco genial.

Si dibuja tres medianas sobre él, se encuentran en un punto: centroide del centroide.

Si tomamos el centroide y lo equilibramos en un palo, con el palo justo en el centroide, se equilibrará perfectamente. Eso es lo que es el centro de masa.

Triángulos iguales

Ok, creo que hemos agotado nuestra buena voluntad con Emma, ​​Maddie y sus amigos. Ahora están discutiendo sobre sus seis piezas triangulares. Creen que todos tienen diferentes tamaños.

Pero esto es lo bueno de las medianas. Volvamos a nuestro triángulo original. ¿Recuerda cómo trazamos la línea AF , nuestra primera mediana? Eso nos dio dos triángulos, ABF y ACF .

Estos triángulos tienen la misma área. ¿Por qué? Porque la mediana golpea BC en su centro exacto, dividiéndolo en dos partes iguales. Entonces, las áreas de los triángulos recién creados son iguales.

Ahora agreguemos las medianas BE y CD . Todos estos triángulos se ven diferentes. Pero todos tienen la misma área. ADG = EDAD = EGC = CGF = BGF = BGD . Nadie tiene una pieza triangular más grande que nadie.


Los seis triángulos son iguales en área
Seis triángulos creados por medianas son iguales en área

Al igual que con nuestro centroide, las áreas de nuestro triángulo permanecen en armonía sin importar cómo modifiquemos nuestro triángulo. Siempre que las líneas de cada vértice toquen el punto medio del lado opuesto a ellas, formando medianas, siempre crearemos triángulos iguales.

Resumen de la lección

En resumen, aprendimos que una mediana es un segmento de línea dibujado desde el vértice o esquina de un triángulo hasta el punto medio del lado opuesto.

Cada triángulo tiene tres medianas. Siempre se encuentran en un solo punto, que llamamos centroide. El centroide es el centro de masa del triángulo.

Finalmente, miramos el área de nuestros triángulos. Una sola mediana nos da dos triángulos con áreas iguales. Cuando tenemos tres medianas, obtenemos seis triángulos; todos estos triángulos tienen la misma área.

Seis niños, seis triángulos, disfrutemos este momento.

Los resultados del aprendizaje

Cuando concluya esta lección en video, podría:

  • Ilustra un segmento de recta mediana
  • Recuerda la cantidad de medianas en un triángulo.
  • Encuentra el centroide de un triángulo

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