Conversión entre formas paramétricas y rectangulares

Ecuaciones rectangulares

Todos estamos familiarizados con las ecuaciones rectangulares . Estas son las ecuaciones con varias variables como x , y y z . Estamos acostumbrados a estas ecuaciones porque las encontramos todo el tiempo en las clases de matemáticas. Los ejemplos de ecuaciones rectangulares incluyen ecuaciones para rectas como y = 4x – 3 y ecuaciones para círculos como x ^ 2 + y ^ 2 = 1 . Observe cómo todas estas ecuaciones tienen más de una variable.

Ecuaciones paramétricas

Además de nuestras ecuaciones rectangulares, también tenemos las llamadas ecuaciones paramétricas . Estas son nuestras mismas ecuaciones rectangulares reescritas con una sola variable, el parámetro. Sí, definimos cada una de nuestras variables con una sola variable, con un parámetro, lo llamamos. Aunque podemos usar cualquier letra, nos ceñiremos a la letra t como parámetro en esta lección. Y vamos a pegarse a las letras X e Y para nuestras ecuaciones rectangulares.

La diferencia entre ecuaciones paramétricas y ecuaciones rectangulares es que donde una ecuación rectangular solo requiere una ecuación, una ecuación paramétrica se compone de una ecuación de definición para cada variable. Por ejemplo, x = t + 1 e y = 2t es un ejemplo de una ecuación paramétrica para una ecuación rectangular con solo variables x e y . Sí, necesitamos una ecuación para definir cada variable en términos de nuestro único parámetro.

De rectangular a paramétrico

¿Cómo llegamos a nuestra ecuación paramétrica a partir de una ecuación rectangular? Vamos a ver. ¿Estás listo?

Convierta y = 4x a forma paramétrica.

Se nos ha dado un problema para convertir la ecuación rectangular y = 4x a forma paramétrica. Esta es una ecuación lineal simple, por lo que podemos hacer la sustitución paramétrica fácil de x = t . Luego, para averiguar qué es y en términos de t , sustituimos t por x . Obtenemos y = 4t .

Entonces nuestra ecuación paramétrica es x = t y y = 4t . Desde nuestra ecuación rectangular tiene solamente las variables x e y , nuestra ecuación paramétrica tendrá sólo dos ecuaciones, una para X y otra para y .

A veces, nuestro problema es un poco más complicado.

Convierta x ^ 2 + y ^ 2 = 1 a forma paramétrica.

Para convertir esta ecuación rectangular en forma paramétrica, utilizamos nuestro conocimiento de la trigonometría y sus identidades. Al observar esta ecuación, vemos que se parece mucho a la identidad pitagórica en trigonometría, sin ^ 2 (t) + cos ^ 2 (t) = 1 . Al ver cómo se comparan, podemos hacer la sustitución paramétrica de x = sin (t) e y = cos (t) . Entonces, nuestra ecuación paramétrica es x = sin (t) e y = sin (t) .

Si bien las ecuaciones rectangulares simples pueden tener una sustitución paramétrica simple, algunas ecuaciones rectangulares más complicadas utilizarán nuestro conocimiento matemático extendido. La clave está en conocer la forma del gráfico y las otras ecuaciones que también tienen el mismo gráfico de forma. Por ejemplo, tanto x ^ 2 + y ^ 2 = 1 como sin ^ 2 (t) + cos ^ 2 (t) = 1 grafica en un círculo.

Si aún no lo ha notado, con este proceso, definitivamente es posible obtener diferentes ecuaciones paramétricas que producirán la misma ecuación rectangular.

De paramétrico a rectangular

Ir al revés y convertir de forma paramétrica a forma rectangular es más sencillo. Lo que tenemos que hacer es resolver primero una ecuación para x o y y luego conectarla a la otra para encontrar nuestra ecuación rectangular.

Convierta x = t + 1 e y = 2t en una ecuación rectangular.

Ambas ecuaciones son fáciles de resolver para x o y . Así que solo elegiremos uno. Resolvamos x = t + 1 para t . Obtenemos t = x – 1 . Ahora, conectamos esto en y = 2t . Obtenemos y = 2 (x – 1) . Esto se convierte en y = 2x – 2 , una ecuación lineal. Hemos terminado. Nuestra ecuación rectangular es y = 2x – 2 .

La conversión de forma paramétrica a forma rectangular es más sencilla y requiere una sustitución y una resolución directas.

Resumen de la lección

Repasemos lo que hemos aprendido:

Aprendimos que las ecuaciones rectangulares son las ecuaciones con varias variables como x , y , yz y las ecuaciones paramétricas son nuestras mismas ecuaciones rectangulares reescritas con una sola variable, el parámetro. Entonces, las ecuaciones rectangulares tienen más de una variable y las ecuaciones paramétricas solo tienen una. Además, mientras que la ecuación rectangular solo tiene una ecuación, una ecuación paramétrica tiene una ecuación de definición para cada variable.

Para cambiar de una ecuación rectangular a una ecuación paramétrica, necesitamos mirar la ecuación y compararla con otras ecuaciones que sabemos que tienen la misma forma. Si es una línea recta, podemos hacer una sustitución sencilla como x = t y luego insertar eso en nuestra ecuación para averiguar a qué es igual y . Para ecuaciones rectangulares más complejas, es posible que debamos observar posibles identidades trigonométricas y otras identidades que conocemos.

Para convertir de una ecuación paramétrica en una ecuación rectangular, resolvemos una de las ecuaciones paramétricas para una de las variables rectangulares y la conectamos a la otra ecuación para encontrar una ecuación rectangular.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, debería tener la capacidad de:

• Definir ecuaciones rectangulares y ecuaciones paramétricas.
• Explica cómo cambiar de ecuaciones rectangulares simples y complejas a una ecuación paramétrica.
• Convertir una ecuación paramétrica en una ecuación rectangular