Cosenos y relaciones direccionales: definición y cálculos

¿Qué son los vectores?

Cuando desee definir la posición de un objeto en el espacio, hay dos formas de hacerlo. Puede dar las coordenadas del objeto (relativas a algún origen), o puede dar la distancia total al objeto y el ángulo que forma una línea que conecta el origen y el objeto con uno o más de los ejes de coordenadas.

Esto es bastante fácil de hacer cuando se trata de distancias bidimensionales. Por ejemplo, si tiene un objeto con coordenadas de (3,4) en el plano xy , puede encontrar que la distancia al objeto ( r ) era 5 usando el teorema de Pitágoras, y podría usar la función tangente para encontrar el ángulo r hace con el eje x .

La distancia total, r , se conoce como la magnitud del vector de posición. Un vector es cualquier cantidad matemática que tiene una magnitud y una dirección, incluido este vector que representa la posición de un objeto en el espacio. Al igual que hicimos aquí, todos los vectores se pueden representar de dos formas, ya sea con coordenadas o con una magnitud y dirección.

Si bien puede usar geometría simple para encontrar la magnitud y la dirección de un vector 2D, las cosas comienzan a complicarse un poco cuando pasa de dos a tres dimensiones. Ahora, tiene tres ejes y, por lo tanto, se requieren tres coordenadas para definir la posición del objeto. Para representar el vector con una magnitud y dirección, no solo debe calcular la magnitud de la distancia, sino también el ángulo que forma con LOS TRES ejes.

Relaciones de dirección y vectores unitarios

Si conoces las coordenadas de un punto en el espacio 3D y quieres la distancia hasta ese punto, puedes calcular la magnitud del vector de posición usando las tres coordenadas que conoces:

Una vez que tenga la magnitud, puede calcular un vector unitario que describa la dirección del vector. Para encontrar los componentes del vector unitario, divida los tres componentes originales del vector por la magnitud que acaba de calcular.

Este vector unitario tiene una magnitud de exactamente uno y siempre está en la misma dirección que el vector original. Los tres componentes del vector unitario se conocen como relaciones de dirección porque representan la relación entre cada coordenada y la magnitud total.

Ahora que sabe cómo encontrar las razones de dirección, ¿qué haría si supiera las razones de dirección del vector unitario y la magnitud del vector y quisiera encontrar las tres componentes?

En este caso, todo lo que tiene que hacer es multiplicar la magnitud por cada una de las razones de dirección en el vector unitario para encontrar las componentes x , y y z del vector.

Cosenos de dirección

¿Cómo se relacionan las relaciones de dirección que acaba de encontrar con los ángulos que forma el vector con cada eje de coordenadas?

Para encontrar estos ángulos, debe recordar la definición de la función coseno (coseno = opuesto / adyacente). Por lo tanto, el coseno de cada ángulo es igual a la relación de dirección correspondiente.

Si conoce las relaciones de dirección y desea encontrar los ángulos que forma el vector con cada eje, simplemente encuentre el coseno inverso de cada una de las relaciones de dirección.

Luego, multiplique la magnitud del vector por los tres componentes del vector unitario. Si la magnitud de este vector es 25, entonces las coordenadas del vector serán (20.7, 5.2, 24.2).

Resumen de la lección

Un vector es cualquier cantidad matemática que tiene una magnitud y una dirección. Puedes representar un vector tridimensional usando tres coordenadas en el espacio o usando la magnitud del vector y los ángulos que el vector forma con cada uno de los ejes de coordenadas.

Para mostrar la dirección de un vector 3D, puede calcular un vector unitario , que es un vector con una magnitud de uno que da la dirección del vector original. Para encontrar los componentes del vector unitario, divida los tres componentes originales del vector por la magnitud del vector. Los tres componentes del vector unitario se conocen como relaciones de dirección porque representan la relación entre cada coordenada y la magnitud total.