foto perfil

Creación de funciones para describir relaciones entre cantidades

Publicado el 23 noviembre, 2020

Secuencias

En matemáticas, una secuencia es un conjunto de cosas, generalmente números, organizadas en un orden específico y que generalmente siguen un patrón. Por ejemplo, la secuencia de números impares tiene un orden específico que comienza con 1, luego se mueve a 3, luego 5, luego 7, y así sucesivamente. Esta secuencia también tiene una regla que se puede escribir como una función: f ( x ) = 2 x – 1 donde x representa la ubicación del término. El primer número de la secuencia tiene una x de 1. El segundo número de una secuencia tiene una x de 2. Y así sucesivamente.

Cuando se trata de secuencias y sus funciones, hay dos tipos de funciones que puedes escribir. Hay funciones explícitas donde la función solo llama a la ubicación de cada término de la secuencia. Luego, hay funciones recursivas donde la función realmente llama a términos anteriores para encontrar un término actual de una secuencia. En esta lección, aprenderá a escribir estos dos tipos de secuencias.

Echemos un vistazo más de cerca a cada uno de estos tipos.

Funciones explícitas

Las funciones explícitas se utilizan para secuencias cuyos términos no se basan en términos anteriores. Por ejemplo, la secuencia de números impares 1, 3, 5, 7,… es tal secuencia. Esta secuencia no depende de términos anteriores. Cada término simplemente depende de su ubicación.

Para encontrar la función para esta secuencia, tendrá que probar varias cosas. Primero puede intentar multiplicar o dividir cosas según la ubicación de su término. Si eso no funciona, puede intentar sumar o restar. A veces, tendrás una combinación. Para la secuencia de números impares, primero intente multiplicar por 2. Cuando haga esto, su primer término es 2 (1) = 2; su segundo término es 2 (2) = 4. Hmm. Parece que esos números son 1 más que tus números. Entonces, eso significa que puede encontrar cada término multiplicando la ubicación del término por 2 y luego restando 1.

  • f ( x ) = 2 x – 1

Entonces, el primer término es este:

  • f (1) = 2 (1) – 1
  • f (1) = 2 – 1
  • f (1) = 1

El segundo término es este:

  • f (2) = 2 (2) – 1
  • f (2) = 4 – 1
  • f (2) = 3

Reglas

Cuando se trata de funciones explícitas, hay dos reglas generales que puede seguir para encontrar su función.

Cuando tiene una secuencia en la que agrega el mismo número entre cada par sucesivo de términos, su secuencia seguirá esta función:

  • f ( x ) = a + d ( x – 1)

La a representa el primer término de la secuencia y la d representa la diferencia numérica entre cada par sucesivo de términos. Este tipo de secuencia se llama secuencia aritmética.

Por ejemplo, la secuencia 2, 5, 8, 11,… salta en 3 entre cada par sucesivo de términos. Su primer término es 2, por lo que su función se puede encontrar mediante la conexión de 2 para una y 3 para d en la fórmula anterior:

  • f ( x ) = 2 + 3 ( x – 1)
  • f ( x ) = 2 + 3 x – 3
  • f ( x ) = 3 x – 1

Tenga en cuenta que una vez que ingresó sus números, simplificó la función.

Si su secuencia tiene que multiplicar cada término por el mismo número para encontrar el siguiente término, entonces tiene lo que se llama una secuencia geométrica, y tendrá una función de esta forma:

  • f ( x ) = ar ( x – 1)

Una vez más, tu a es tu primer mandato. Tu r es el número por el que tienes que multiplicar cada vez para encontrar el siguiente término.

Por ejemplo, mire esta secuencia:

  • 4, 8, 16, 32, …

Al observar esta secuencia, puede ver que multiplica por 2 para llegar a cada término siguiente. Por lo tanto, esto significa que la función de esta secuencia se puede encontrar mediante la conexión de 4 para una y 2 para r en la fórmula anterior:

  • f ( x ) = 4 * 2 ( x – 1)
  • f ( x ) = 2 2 * 2 ( x – 1)
  • f ( x ) = 2 ( x – 1 + 2)
  • f ( x ) = 2 ( x + 1)

De nuevo, después de introducir los valores, simplifica todo lo que pueda.

Funciones recursivas

Las funciones recursivas se utilizan para secuencias que dependen de términos anteriores. Debido a que dependen de términos anteriores, su fórmula tendrá dos partes. La primera parte le dice cuáles son los primeros términos. A veces, es necesario conocer el primer término y, a veces, los dos primeros términos. La segunda parte te dice la regla. Por ejemplo, mire esta secuencia:

  • 1, 1, 2, 3, 5, 8,…

Si intenta buscar una función explícita para esta secuencia, no podrá encontrar una. Si observa detenidamente esta secuencia y juega con sus números, pronto verá que esta secuencia le pide que sume los dos términos anteriores para encontrar el término actual. Por ejemplo, el tercer término, (2), es la suma del primer y segundo términos, (1 + 1 = 2). El cuarto término, (3), es la suma del segundo y tercer términos, (1 + 2 = 3).

Para escribir esta función, comience por establecer los dos primeros términos, ya que la secuencia depende de los dos términos anteriores para encontrar el siguiente.

  • f (1) = 1
  • f (2) = 1

Luego, puede escribir la regla que llama a los dos términos anteriores.

  • f ( x ) = f ( x – 2) + f ( x – 1)

Dado que x es la ubicación de su término actual, al escribir su función como f ( x – 1), le indica que mire el término anterior. La f ( x – 2) le pide que mire el término que es dos ubicaciones antes. Entonces, su función completa es la combinación de sus primeros términos, y su regla es:

  • f (1) = 1
  • f (2) = 1
  • f ( x ) = f ( x – 2) + f ( x – 1)

Resumen de la lección

Revisemos.

Una secuencia es un conjunto de cosas, generalmente números, organizadas en un orden específico y que generalmente siguen un patrón. La mayoría de las secuencias se pueden escribir como una función. Hay dos tipos de funciones según la regla que siga la secuencia.

Las funciones explícitas son funciones que solo invocan la ubicación de cada término de la secuencia. Las funciones recursivas son funciones que invocan términos anteriores para encontrar un término actual de una secuencia.

Cuando se trata de funciones explícitas, hay dos reglas generales que te ayudarán a encontrar tu función para tu secuencia.

Si su secuencia es una secuencia aritmética en la que agrega el mismo número cada vez para encontrar el siguiente número, entonces su función se puede encontrar a partir de esta fórmula:

  • f ( x ) = a + d ( x – 1)

La a representa el primer término y la d representa el número que debe sumar cada vez.

Si su secuencia es una secuencia geométrica en la que multiplica por el mismo número cada vez para encontrar el siguiente número, entonces su función seguirá esta forma:

  • f ( x ) = ar ( x – 1)

La a representa el primer término y la r representa el número por el que tienes que multiplicar cada término para encontrar el siguiente.

Articulos relacionados