Demostrar relaciones entre ángulos y lados en triángulos

El teorema de la bisagra

Imagina que tienes dos palos que están conectados entre sí como una bisagra, lo que te permite abrir y cerrar el ángulo entre los dos palos. Ahora imagina que los extremos de los dos palos están conectados a un tercer palo. La longitud del tercer palo depende del tamaño del ángulo entre los dos primeros. Ésta es la idea detrás del teorema de la bisagra.

Si sabe que dos pares de lados correspondientes para dos triángulos son congruentes y cómo se comparan los ángulos entre los dos lados, entonces el teorema de la bisagra puede ayudarlo a comprender cómo se relacionan los lados restantes de los dos triángulos. Los dos palos y el ángulo entre ellos son como los dos lados conocidos y el ángulo de un triángulo. El tercer palo representa el tercer lado desconocido del triángulo.

Digamos que tienes dos triángulos: ΔCBD y ΔAEF. Sabes que CB = AE y BD = AF. También sabe que m∠B = 96 ° y m∠E = 76 °. ¿Qué te dice esto acerca de cómo se comparan los lados CD y EF?

El teorema de la bisagra dice que CD> EF, ya que el ángulo más grande se abrirá hacia el lado más largo. Recuerde, el teorema de la desigualdad del triángulo establece que en un triángulo, el ángulo más pequeño está opuesto al lado más corto, mientras que el ángulo más grande está opuesto al lado más grande del triángulo.

Pruebas indirectas

Las pruebas indirectas también se denominan “pruebas por contradicción”. En una prueba indirecta, intenta probar que algo es cierto asumiendo que lo que quiere probar no es cierto. El razonamiento que sigue puede contradecir algo que sabe que debe ser cierto. Si su suposición original llevó a una contradicción, significa que su suposición original no es verdadera.

Digamos que quieres demostrar que un zorro es un mamífero. En una prueba indirecta, asumirías que el zorro no es un mamífero. Si el razonamiento que sigue a esa suposición contradice las cosas que usted sabe que son ciertas sobre el zorro, entonces ha demostrado que un zorro es un mamífero.

Ejemplo de geometría

Aquí tienes un ejemplo de geometría. Digamos que tienes un triángulo rectángulo, ΔVXY, donde ∠X es el ángulo recto.

Quieres probar que m∠V + m∠Y = 90 °, o que los dos ángulos son complementarios. Primero, asume que los ángulos no suman 90 ° o no son complementarios. Si no son complementarios, existen dos posibilidades:

• La suma de los dos ángulos es mayor que 90 °.
• La suma es inferior a 90 °.

La primera posibilidad es que m∠V + m∠Y> 90 °. Dado que m∠X = 90 °, m∠V + m∠Y + m∠X> 90 ° + 90 °. Esto significa que m∠V + m∠Y + m∠X> 180 °, lo que contradice que la suma de los ángulos en un triángulo sea igual a 180 °. Por lo tanto, m∠V + m∠Y ≯ 90 °.

La segunda posibilidad es que m∠V + m∠Y <90 °. Dado que m∠X = 90, m∠V + m∠Y + m∠X <90 ° + 90 °. Esto significa que m∠V + m∠Y + m∠X <180 °, lo que también contradice que la suma de los ángulos en un triángulo es igual a 180 °. Por lo tanto, m∠V + m∠Y ≮ 90 °.

Finalmente, dado que m∠V + m∠Y ≯ 90 ° y m∠V + m∠Y ≮ 90 °, m∠V + m∠Y = 90 °. Por tanto, puede concluir que ∠V y ∠Y deben ser ángulos complementarios.

Demostrar el inverso del teorema de la bisagra

Demostremos que el inverso del teorema de la bisagra es verdadero usando una demostración indirecta. Esto significa que dados dos triángulos ΔCBD y ΔAEF, CB = AE y BD = AF. Queremos demostrar que si CD <EF entonces m∠B <m∠E.

En otras palabras, si dos triángulos tienen dos pares de lados congruentes, comparar los terceros lados revelará la relación de los ángulos ubicados entre los pares de lados congruentes.

Para escribir una prueba indirecta, supongamos que m∠B ≮ m∠E. Esto significa que hay dos posibilidades:

• m∠B = m∠E
• m∠B> m∠E

Primero, supongamos que m∠B = m∠E. Si esto es cierto, entonces de acuerdo con el teorema de la bisagra, CD = EF, que contradice que CD <EF. Por tanto, m∠B ≠ m∠E.

En segundo lugar, supongamos que m∠B> m∠E. Si esto es cierto, entonces el teorema de la bisagra dice que CD> EF, lo que contradice que CD <EF. Por tanto, m∠B> m∠E.

Resumen de la lección

En esta lección exploramos el teorema de la bisagra y cómo se usa para comparar dos triángulos que tienen pares de lados congruentes. Por ejemplo, dado que dos triángulos tienen ángulos comparables y dos pares de lados correspondientes, el teorema de la bisagra puede ayudarte a comprender cómo se relacionan los lados restantes de los dos triángulos.

También discutimos cómo escribir una prueba indirecta , o una prueba por contradicción, y cómo se puede usar para demostrar lo contrario del teorema de la bisagra. En una prueba indirecta, intenta probar que algo es cierto asumiendo que lo que quiere probar no es cierto.