Derivada de una función: definición y ejemplo

Publicado el 23 noviembre, 2020

Introducción: pendiente de una curva

Todos sabemos cómo encontrar la pendiente de una línea recta. Se nos ha clavado en la cabeza desde el séptimo grado. Simplemente divide el cambio en y por el cambio en x , o como dijo nuestro maestro de matemáticas de la escuela primaria, aumenta sobre la carrera. Esto se conoce comúnmente como tasa de cambio. Si bien esto funciona muy bien para líneas rectas, ¿qué sucede cuando queremos encontrar la pendiente de una función no lineal? ¿Funcionará el mismo enfoque? La respuesta es no. La derivada , que se define como la tasa de cambio instantánea o la pendiente en un punto específico de una función, puede ayudarnos a superar este desafío.

Las pendientes de las ecuaciones lineales son constantes en toda la línea. Intuitivamente, puede decirse a sí mismo que, dado que estamos considerando una curva, no habrá una pendiente constante para toda la función. ¡Esa suposición sería correcta! Cuando intentamos encontrar la pendiente de las curvas, buscamos encontrar una ecuación que podamos usar para darnos la pendiente de una línea tangente a la curva en cualquier valor dado de x . El uso de esta ecuación nos da la tasa de cambio instantánea, o la pendiente en un punto específico de la curva.

Definición y fórmula

La ecuación que encontramos se conoce como derivada de la función. Como se indicó anteriormente, la derivada se define como la tasa instantánea de cambio, o pendiente, en un punto específico de una función. Le da la pendiente exacta en un punto específico a lo largo de la curva. La derivada se denota por ( dy / dx ), que simplemente representa la derivada de y con respecto a x .

Encontrar la derivada o pendiente de una curva en un punto específico es una aplicación del tema de los límites que ha aprendido anteriormente. Para encontrar la derivada, use la siguiente fórmula:

fórmula derivada

Ejemplo de determinación de la tasa de cambio instantánea utilizando la derivada

Una de las características más beneficiosas de la derivada es su capacidad para aliviar la carga de determinar la tasa de cambio instantánea. El siguiente ejemplo ilustra cómo se puede utilizar la función derivada para calcular fácilmente la tasa de cambio instantánea en un punto específico de una curva.

Encuentre dy / dx si y = 4 x ^ 2 + 6 x

dy / dx = lim h -> 0 ((4 ( x + h ) ^ 2 + 6 ( x + h )) – (4 x ^ 2 + 6 x )) / h

dy / dx = lim h -> 0 (4 ( x ^ 2 +2 xh + h ^ 2) + 6 x +6 h ) -4 x ^ 2-6 x / h

dy / dx = lim h -> 0 (4 x ^ 2 + 8 xh + 4 h ^ 2 + 6 x +6 h – 4 x ^ 2-6 x ) / h

dy / dx = lim h -> 0 (8 xh + 4 h ^ 2 +6) / h

dy / dx = lim h -> 0 h (8 x +4 h + 6) / h

dy / dx = lim h -> 0 8 x + 4 h + 6

dy / dx = 8 x +6

¿Qué nos dice dy / dx = 8 x + 6?

Nos dice que podemos usar 8 x + 6 para encontrar la tasa de cambio instantánea (pendiente de la recta tangente) en cualquier punto de la curva dada por y = 4 x ^ 2 + 6 x . Por ejemplo, si quisiera encontrar la pendiente de una recta tangente a y = 4 x ^ 2 + 6 x en x = 2 (la tasa de cambio instantánea), podríamos usar la ecuación derivada de nuestro ejemplo anterior para encontrar que :

y = 8 x + 6 = 8 (2) + 6 = 16+ 6 = 22

La pendiente de la recta tangente a y = 4 x ^ 2 + 6 x en x = 2 es 22.

Resumen de la lección

La derivada se puede definir como una fórmula que se utiliza para derivar la tasa de cambio instantánea (pendiente) de una función no lineal. Una forma fácil de comprender esto es considerar que la tasa de cambio instantánea es simplemente la pendiente de una línea tangente a la función en un punto específico de la curva. Determinar la tasa de cambio instantánea es mucho más preciso que usar la fórmula de pendiente tradicional, que simplemente le daría una tasa de cambio promedio sobre la curva. Dado que la pendiente de una curva no es constante, es mucho más útil poder determinar la pendiente a medida que avanza a lo largo de la curva.

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