Determinación de intersecciones para funciones no lineales

Funciones no lineales

Es posible que esté familiarizado con la creencia de que una vez que compra un automóvil nuevo, su valor ya se deprecia tan pronto como lo saca del lote. Este tipo de depreciación se puede modelar fácilmente mediante una función. Por ejemplo, si comprara un automóvil por $ 25,000 y su valor se deprecia en $ 2000 por año, entonces el valor del automóvil se puede modelar utilizando la siguiente función:

• f ( x ) = 25000 – 2000 x , donde x es el número de años que han pasado desde que se compró el automóvil.

Si bien este tipo de depreciación se aplica a muchos modelos de automóviles, algunas ediciones de colección tienen un patrón diferente en su valor. Por ejemplo, considere un automóvil clásico que se compró en 1960 y se mantuvo en excelentes condiciones. Su valor podría depreciarse inicialmente e incluso ser cero por un tiempo, pero luego volverse más y más alto siempre que se mantenga en buenas condiciones. Imagine que el valor se puede modelar usando la siguiente función:

• g ( x ) = 18,75 x 2 – 450 x + 2300, donde x es el número de años desde 1960.

Las funciones f y g son dos tipos diferentes de funciones. La función f es una función lineal , o una función que se puede poner en la forma f ( x ) = mx + b , donde m y b son números reales. La característica definitoria de una función lineal es que su gráfica es una línea.

Cualquier función que no sea una función lineal es una función no lineal . Una función no lineal es una función cuya gráfica no es una línea recta. No se puede poner en la forma f ( x ) = mx + b .. La función g es un ejemplo de función no lineal. La función g no se puede poner en la forma g ( x ) = mx + b , y la gráfica de g no es una línea, sino una U:

En la imagen se muestran algunos otros ejemplos de funciones no lineales.

Ahora, suponga que queremos saber el valor inicial del automóvil comprado en 1960, y queremos saber cuándo el automóvil tendrá un valor de cero. Estos dos números en realidad representan un aspecto importante de las funciones no lineales llamadas intersecciones. ¡Vamos a explorar!

Intercepciones de funciones no lineales

Las intersecciones de una función no lineal se pueden definir tanto gráfica como algebraicamente. Gráficamente, las intersecciones de una función no lineal son los valores donde la función cruza las x y Y ejes. El valor y del punto donde la gráfica cruza el eje y se llama intersección y , y los valores x de los puntos donde la gráfica cruza el eje x se denominan intersecciones x .

Observe que en la intersección con y , x es cero y en la intersección con x , y es cero. Esto conduce a la definición algebraica de intersecciones de una función no lineal. Algebraicamente, la intersección en y de una función es el valor de y cuando x es igual a cero, y la intersección en x de una función es el valor de x cuando y es igual a cero.

Estas definiciones nos dan dos formas de identificar las intersecciones de una función no lineal.

1. Gráficamente, nos encontramos con los puntos en los que la gráfica cruza las X y Y. ejes.
2. Algebraicamente, podemos introducir cero para una de las variables y resolver la otra.

Usemos estos métodos para responder nuestra pregunta inicial sobre el automóvil comprado en 1960.

Ejemplo

Considere el valor inicial del automóvil. El valor inicial sería cuánto costaba el automóvil en 1960 cuando se compró inicialmente. En este momento, seríamos cero años después de 1960, por lo que x sería cero. ¡Ah-ja! El valor inicial del automóvil correspondería a la intersección y de la función de valor.

Ahora considere el punto en el que el valor del automóvil es cero. El valor del automóvil se representa a lo largo del eje y , por lo que y sería cero. ¿Le suena esto a lo que representan estos puntos? ¡Si! ¡Son las intersecciones x ! En conjunto, tenemos que el valor inicial es igual a la intersección con el eje y de g , y cuando el valor del automóvil es cero es igual a la intersección con el eje x de g . Podemos encontrarlos usando nuestras definiciones.

Primero, miremos estos algebraicamente. Para encontrar la intersección con el eje y , sustituimos el cero por x y resolvemos para y . Para encontrar la intersección con x , sustituimos cero por y y resolvemos para x .

Vemos que cuando x = 0, y = 2300, la intersección y es 2300, y el valor inicial es $ 2300. También vemos que cuando y = 0, x ≈ 7,38 o x ≈ 16.62, por lo que los x -intercepts son x = 7,38 y x = 16,62. Esto nos dice que el valor del automóvil será cero en 7.38 años después de 1960, o en 1697, y en 16.62 años después de 1960, o en 1976.

Para encontrar las intersecciones gráficamente, es más fácil y más preciso usar una calculadora gráfica o una computadora.

Vemos que gráficamente, obtenemos el mismo resultado que obtuvimos algebraicamente. Vemos que el valor del automóvil se deprecia inicialmente, y en realidad vale menos que nada entre 1967 y 1976, pero después de eso, su valor aumenta más y más a medida que pasa el tiempo. Es bastante bueno que las intersecciones puedan decirnos mucho sobre el valor del automóvil, ¿no estás de acuerdo?

Resumen de la lección

Una función no lineal es una función que no es lineal. Las intersecciones de una función no lineal se pueden definir gráfica o algebraicamente.

• Gráficamente, la intersección x de una función es el valor x del punto donde la gráfica cruza el eje x , y la intersección y de una función es el valor y del punto donde la gráfica cruza el eje y .
• Algebraicamente, la intersección x de una función es el valor x cuando y = 0, y la intersección y de la función es el valor y cuando x = 0.

Ser capaces de identificar y encontrar las intersecciones de una función no lineal nos permite analizar mejor la función y lo que representa. Dado que las funciones no lineales aparecen en el mundo real a menudo, ¡este es un conocimiento fantástico para tener a mano!