foto perfil

Diagonalización de matrices simétricas: definición y ejemplos

Publicado el 1 octubre, 2020

Llegar allí desde aquí

Las matrices simétricas aparecen a menudo en matemáticas, ciencias e ingeniería. En esta lección, comenzamos con una matriz simétrica y mostramos cómo obtener una matriz diagonal. Pero primero, algunas definiciones.

Algunas Definiciones

Una matriz diagonal , D, tiene números a lo largo de la diagonal principal y ceros en todas partes. Una matriz simétrica , A, tiene números iguales en las ubicaciones fuera de la diagonal.

La tarea es encontrar una matriz P que nos permita convertir A en D.

Una vez que obtenemos la matriz P, entonces D = P t AP. La transposición de P se escribe como P t .

Ésta es mucha terminología para absorber de una vez. Trabajemos paso a paso en el proceso con ejemplos reales de cómo encontrar P y P t .

Los pasos para diagonalizar una matriz simétrica

Paso 1: Encuentre los valores propios de A.

Aquí hay una matriz simétrica típica:

A = [6,8 2,4; 2,4 8,2]

¿Ves el mismo número, 2.4, en las ubicaciones fuera de la diagonal?

Vamos a jugar con la ecuación A – λI.

Por ahora, piense en λ (lambda) como una variable como x . Y la matriz “I” es la matriz de identidad, que es una matriz diagonal especial que tiene unos a lo largo de la diagonal principal.

Sustituyendo A e I en A – λI:

A-lambda_I_substitution

Multiplicar a través de la matriz I por λ

A-lambda_I_multiply_through_the_I_by_lambda

Resta las dos matrices

A-lambda_I_subtract_the_two_matrices

Toma el determinante de la matriz resultante

tomar_el_determinante_de_la_matriz_resultante

Expanda los dos factores entre paréntesis en el lado derecho.

the_determinant_expanding_the_two_factors

Continuar simplificando

the_determinant_continuing_to_simplify

El lado derecho está casi listo para factorizarse. Simplemente reorganice los términos.

ready_to_be_factored

Esto se factoriza como

(lambda-10) (lambda-5)

Ahora, establecemos det (A – λI) en 0 y resolvemos para λ. Obtenemos

(lambda-10) (lambda-5) = 0

Cualquiera de los factores (λ – 10) o (λ – 5) podría ser cero. Si (λ – 10) = 0, entonces λ = 10. A esto lo llamamos λ 1 . La otra posibilidad es (λ – 5) = 0, lo que significa λ 2 = 5. λ 1 y λ 2 son los valores propios de A.

Paso 2: Encuentra los autovectores.

Una matriz tiene dimensiones. Este es el número de filas y el número de columnas. Por ejemplo, una matriz de 3×2 tiene 3 filas y 2 columnas. La matriz, A, es una matriz de 2×2. Si el número de filas o el número de columnas de una matriz es uno, llamamos vector a esta matriz . Los vectores que usaremos tienen 2 filas y 1 columna.

¿Qué pasa si multiplicar una matriz por un determinado vector da el mismo resultado que multiplicar este vector por un valor propio? Este vector especial se llama autovector. Estamos buscando el vector propio, v 1 , que va con el vector propio, λ 1 . Las palabras “que va con” se reemplazan comúnmente por “asociado con”. En otras palabras, estamos buscando el vector propio, v 1 , asociado con el valor propio, λ 1 , que satisfaga

Av_1 = lambda_1 v_1

Por ahora, no conocemos los números en v 1 . No hay problema. Vamos a utilizar las letras a y b .

Sustituyendo

[8 2.4; 2.4 8.2] [a;  b] = 10 [a;  segundo]

Multiplicar la matriz por el vector produce dos ecuaciones. La primera ecuación es

6,8a + 2,4b = 10a

Trayendo todos los términos a la izquierda:

6,8a + 2,4b-10a = 0

Simplificando

-32.a + 2.4b = 0

La segunda de las dos ecuaciones es

2.4a + 8.2b = 10b

Llevando todos los términos al lado izquierdo

2.4a + 8.2b-10b = 0

Simplificando

2.4a-1.8b = 0

Multiplicar la matriz por el vector nos dio dos ecuaciones:

  • -3,2 a + 2,4 b = 0
  • 2,4 a – 1,8 b = 0

Graficar b vs a da una línea recta para cada ecuación. ¡Y las líneas rectas son la misma línea recta! A diferencia de dos líneas que se cruzan en un punto que da una solución única para un y b , estas líneas tienen un número infinito de puntos en común. Lo mejor que podemos hacer es seleccionar uno de los puntos y lo utilizan para relacionar una y b .


a = 3 y b = 4 resuelve ambas ecuaciones
a = 3_y_b = 4_soluciona_ambas_ecuaciones

Intente sustituir 3 por a y 4 por b en cada ecuación para verificar que estos números funcionan. Por tanto, el vector propio es

the_vector_v1 = [3;  4]

Tenga en cuenta que, como cuestión práctica, podríamos haber elegido cualquier punto de la línea que no sea el punto del origen. Los números 3 y 4 son agradables porque son números enteros. Pero podríamos haber dejado a = 1 lo que daría b = 4/3. Ambas ecuaciones también están satisfechas con esta elección. Posteriormente normalizaremos el vector propio. El vector propio normalizado es único independientemente del punto que elijamos en la línea. El punto en el origen no proporciona información porque dice que cero multiplicado por cualquier número es una solución.

Para encontrar el otro autovector, use el segundo autovalor.

Av_2 = lambda_2 v_2

Como antes, sustituimos A y λ con la idea de encontrar los números del vector propio, v 2 .

[6,8 2,4; 2,4 8,2] [a; b] ^ t = 5 [a; b] ^ t

Como antes, obtenemos dos ecuaciones y las simplificamos. El primer resultado es

1.8a + 2.4b = 0

y el segundo es

2,4a + 3,2b = 0

Una vez más, tenemos dos ecuaciones sin respuesta única. Dos valores que funcionan son a = -4 y b = 3.

Por lo tanto, el vector propio, asociado con λ = 5 es

v2 = [- 4 3] ^ t

Paso 3: normalizar los vectores propios.

A continuación, hacemos que la longitud de cada vector propio sea igual a 1. Esto se llama normalización .

Hallamos la longitud del vector, v 1 , tomando la raíz cuadrada de la suma de 3 al cuadrado y 4 al cuadrado.

length_of_v1_ = 5

v 1 rodeado por un par de líneas verticales significa “la longitud de v 1 “.

La longitud de v 1 es 5.

Para normalizar v 1 , dividimos v 1 por su longitud.

u1 = v1 / longitud (v1)

Para que quede claro, la versión normalizada de v 1 se escribe como u 1 .

Sustituyendo obtenemos

u1 = [3; 4] ^ t / 5

Cada número en v 1 se divide por 5.

[3/5; 4/5] ^ t

Escribiendo las fracciones como decimales,

u1 = [. 6

Por cierto, si hubiéramos usado a = 1 yb = 4/3, la longitud del vector propio habría sido la raíz cuadrada de 1 + (4/3) 2, que es 5/3. Luego, dividiendo por 5/3, el vector propio normalizado es [1 / (5/3) (4/3) / (5/3)] = [.6 .8] que es el mismo u 1 que antes.

Si u 1 realmente tiene una longitud de 1. Verificando, || u 1 || = √ (.6 ^ 2 + .8 ^ 2) = √ (.36 + .64) = √ (1) = 1. ¡Compruebe!

Normalizamos v 2 de la misma manera al encontrar la longitud de v 2 ,

longitud (v2) = raíz_cuadrada ((- 4) ^ 2 + 3 ^ 2) = 5

y dividiendo v 2 por su longitud para obtener el vector normalizado, u 2 .

u2 = v2 / longitud (v2)

Sustituyendo

u2 = [- 4; 3] / 5

y dividiendo por 5

Cambiar las fracciones a decimales.

La mayor parte del trabajo está hecho. Ahora tenemos nuestros dos autovectores normalizados.

Paso 4: Escriba P y P t .

Las columnas de la matriz P son los autovectores normalizados, u 1 y u 2 .

P = [. 6 .8; .8 .6]

Leemos la columna de P obteniendo .6 y .8. Luego, escribimos .6 y .8 como la fila de P t . Lo mismo ocurre con la segunda columna de P. El -.8 y .6 se convierten en la segunda fila de P t .

Ahora, para diagonalizar A, multiplicamos por P y la transpuesta de P. Esto nos da la matriz diagonalizada D. Específicamente, P t AP = D.

Los detalles de esta multiplicidad son

La matriz D tiene los valores propios en la diagonal principal y ceros en todas partes. Es importante notar que λ 1 es el primero, seguido de λ 2 para que coincida con el orden de los autovectores.

[10 0; 0 5]

Comenzamos con una matriz simétrica, A, y llegamos a una matriz diagonal, D.

Resumen de la lección

Una matriz diagonal tiene ceros en todos los lugares excepto a lo largo de la diagonal principal. Una matriz simétrica es igual a su transpuesta. La transposición de una matriz se encuentra cambiando las filas con las columnas. La matriz de identidad es una matriz diagonal con unos a lo largo de la diagonal principal. Un vector es una matriz que tiene una dimensión de fila o columna igual a 1. Multiplicar una matriz por un vector será igual a un número por este vector si el número es un valor propio y el vector es un vector propio . Para diagonalizar una matriz simétrica, A, calcule P t AP donde las columnas de P son los autovectores normalizados de A.

Articulos relacionados