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Dilatación en matemáticas: definición y significado

Publicado el 31 octubre, 2020

¿Qué es la dilatación?

¿Alguna vez has ido al cine y te has preguntado desde dónde se proyecta la película? ¿Cómo consiguió la persona de la trastienda que la película encajara perfectamente en la pantalla gigante? Bueno, si aún no lo sabía, el proceso que se usa para que las películas se ajusten a la pantalla de una película es un ejemplo perfecto de cómo se usan las dilataciones en la vida real.

Una dilatación es una transformación que cambia el tamaño de una figura. Puede hacerse más grande o más pequeño, pero la forma de la figura no cambia. Para completar una dilatación, se necesitan dos cosas. El primero es un punto central (o punto fijo), que generalmente solo se menciona cuando se debe dibujar la dilatación.

El segundo es un factor de escala o razón, que a menudo se representa mediante la variable r . Aquí puede ver cómo se relaciona esto con la experiencia cinematográfica cotidiana. El haz de luz sería el punto central, la tira de película sería la imagen previa y la película mostrada en la pantalla grande sería la imagen.

Dilataciones y películas

Al completar dilataciones, a menudo usamos la terminología del ejemplo anterior. La figura original se conoce como preimagen y la figura recién dilatada, denotada con marcas primarias, se llama imagen. En este ejemplo, nuestra imagen previa es el triángulo ABC y está dilatada para producir la imagen del triángulo A’B’C ‘.

Triángulo dilatado ABC

Conocer el factor de escala le permite predecir cómo se verá la imagen después de la dilatación. Si el valor absoluto del factor de escala es menor que 1, la imagen será más pequeña que la imagen previa. Si el valor absoluto del factor de escala es mayor que 1, la imagen será más grande que la preimagen. Además, un factor de escala negativo hace que la dilatación gire 180 grados.

Las dilataciones pueden ocurrir tanto en un plano de coordenadas como no en un plano de coordenadas. Echemos un vistazo a cada uno.

Dilataciones que no están en un plano de coordenadas

Sin un plano de coordenadas, su objetivo principal será calcular la longitud del segmento de una imagen dilatada. Una fórmula general a utilizar es Imagen = (Pre-Imagen) * | Factor de escala | . En otras palabras, multiplique la imagen previa por el valor absoluto del factor de escala. Debemos usar valor absoluto porque las longitudes siempre deben ser positivas (no puede tener una longitud o distancia negativa).

Para nuestro primer ejemplo, sea AB = 8 y dilatémoslo por un factor de escala de -2. El valor absoluto de este factor de escala es positivo 2, que es mayor que 1. Por lo tanto, podemos predecir que el segmento A’B ‘será más grande que el segmento AB. Usando la fórmula anterior, vemos que A’B ‘= (8) * (2) = 16.

En nuestro segundo ejemplo, usaremos la misma imagen previa, pero esta vez la dilataremos en un factor de escala de .25. El valor absoluto de este factor de escala es .25, que es menor que 1. Con esto, podemos predecir que el segmento A’B ‘será más pequeño que el segmento AB. Una vez más, para encontrar la longitud de A’B ‘, multiplicaremos por el valor absoluto del factor de escala. Por lo tanto, A’B ‘= (8) * (. 25) = 2.

Dilataciones en un plano de coordenadas

Ahora, al completar dilataciones en un plano de coordenadas, su objetivo principal será encontrar las coordenadas de la imagen. Dado que no estamos encontrando la longitud de los segmentos, no necesitamos multiplicar por el valor absoluto del factor de escala. En su lugar, simplemente multiplique cada coordenada por el factor de escala. Sin embargo, aún debemos usar el valor absoluto para predecir si la imagen aumentará o disminuirá de tamaño. Para los ejemplos de esta lección, usaremos el origen (0, 0) como nuestro punto central. Hagamos un ejemplo.

Dejemos que D (2, -2) y E (6, -4) sean las coordenadas de nuestra preimagen y dilatemos el segmento DE con un factor de escala de .5. Para completar esto, multiplicaremos cada coordenada por 0,5. Al hacerlo, vemos que las coordenadas de nuestra imagen son D ‘(1, -1) y E’ (3, -2). También podemos ver que nuestra imagen es más pequeña que nuestra imagen previa, ya que el valor absoluto de nuestro factor de escala es menor que 1.

Figura 3: Dilatación en plano de coordenadas

Para nuestro segundo ejemplo, usemos la misma imagen previa y dilatémosla con un factor de escala de -2. Dado que este factor de escala es negativo, nuestra imagen será una rotación de 180 grados de la imagen previa. Debido a que los valores absolutos son siempre positivos, el valor absoluto de este factor de escala es positivo 2, lo que hace que nuestra imagen sea dos veces más grande que la imagen previa. Para determinar las nuevas coordenadas, multiplicaremos los puntos D y E por -2 para obtener D ‘(-4, 4) y E’ (-12, 8), como ve aquí.

Figura 4: Dilatación en plano de coordenadas

Resumen de la lección

Las dilataciones son transformaciones que cambian el tamaño de la figura. El factor de escala le ayudará a determinar si la imagen será más pequeña o más grande que la imagen previa. Para completar las dilataciones, multiplique las coordenadas por el factor de escala o multiplique las longitudes de los lados por el valor absoluto del factor de escala.

Puntos de énfasis


Hacer que una película se ajuste a la pantalla es un ejemplo de dilatación.
dilatacion
  • Dilatación: una transformación que cambia el tamaño de una figura.
  • Factor de escala: una proporción
  • Fórmula general para calcular la longitud del segmento de una imagen dilatada: Imagen = (Pre-Imagen) * | Factor de escala |

Los resultados del aprendizaje

Mire y lea toda la lección para que pueda:

  • Describe las características de una dilatación.
  • Nombra las dos cosas necesarias para completar una dilatación.
  • Comprenda cuáles serían sus objetivos principales al completar dilataciones en un plano de coordenadas o sin un plano de coordenadas

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