División de polinomios con división larga y sintética: problemas de práctica

División polinomial

Hemos examinado alguna división larga polinomial básica y división sintética . Ahora, echemos un vistazo a un par de problemas más complicados. Funcionan exactamente igual, excepto que tenemos divisores más grandes o faltan partes del dividendo.

Ejemplo 1

Aquí está nuestro primero: ( x ^ 3 – 9) ÷ ( x ^ 2 + 3).

Cuando falte un término, use 0 como coeficiente.

¿Notó que no tenemos un término x ^ 2 ox en el dividendo? Necesitamos poner algo como marcador de lugar. Siempre que tengamos un término faltante, pondremos 0 como sus coeficientes. Por ejemplo, en este problema tendremos ( x ^ 3 + 0 x ^ 2 + 0 x – 9). ¿Por qué ceros? Debido a que cualquier cosa multiplicada por cero es cero, ¡no estamos agregando nada al problema!

Para completar nuestra división larga, ahora tenemos ( x ^ 3 + 0 x ^ 2 + 0 x – 9) como dividendo, por lo que va debajo del símbolo de división larga. El divisor es ( x ^ 2 + 3). ¿Notas que también falta un término? Al igual que el dividendo, debemos colocar un marcador de lugar. Entonces, ( x ^ 2 + 0 x + 3) va al exterior, al frente del símbolo de división larga.

Ahora, estamos listos para comenzar la división. Los pasos son los mismos cada vez. Es más fácil mostrar y hablar sobre los pasos que simplemente enumerarlos. Para encontrar el primer término del cociente, tomamos los primeros términos del divisor y el dividendo y luego los dividimos: x ^ 3 ÷ x ^ 2. Me gusta escribirlos como una fracción. Es más fácil dividir o reducir de esa manera: x ^ 3 / x ^ 2 = x .

x es el primer término del cociente, por lo que lo escribiremos sobre el símbolo de división larga. Para averiguar qué restaremos del dividendo, multiplicamos x por el divisor, ( x ^ 2 + 0 x + 3): x ( x ^ 2 + 0 x + 3) = x ^ 3 + 0 x ^ 2 + 3 x .

x ^ 3 + 0 x ^ 2 + 3 x se escribe debajo del dividendo, haciendo coincidir términos semejantes. Aquí es donde me gusta hacer la vida más fácil. Para restar los polinomios, simplemente cambio los signos de sus términos y agrego:

• x ^ 3 + – x ^ 3 = 0
• 0 x ^ 2 + -0 x ^ 2 = 0
• 0 x + -3 x = -3 x

Al igual que hicimos en la división larga, reducimos el siguiente período, que es -9. Ahora, tenemos un problema: x ^ 2 no entra en -3 x – 9! Este resulta ser nuestro resto. ¿Cuál es nuestra respuesta entonces? x + ((-3 x – 9) / ( x ^ 2 + 3)). No es necesario poner 0 x como parte del denominador en el resto.

Divide los primeros términos del divisor y dividendo para encontrar el primer término del cociente.

Ejemplo # 2

Aquí hay otro ejemplo: (2 x ^ 3 + 10 – 14 x ) ÷ ( x + 3).

Este está casi listo para la división sintética. El divisor es un binomio de primer grado con un coeficiente principal de 1. Coloque los coeficientes del dividendo debajo del símbolo, al igual que en la división larga, ¡pero no escriba las variables! Asegúrese de dejar un espacio entre cada número. No querrás confundirlos.

¡Espere! ¿Lo escribiste como lo ves? ¡Oh no! El dividendo y el divisor deben estar en orden descendente. Qué significa eso? Necesitamos enumerar los términos desde el exponente más grande hasta el más pequeño. Incluso si nos falta uno, tenemos que ponerlo como marcador de lugar. Entonces, ahora tenemos (2 x ^ 3 + 0 x ^ 2-14 x + 10) ÷ ( x + 3).

A continuación, observe ( x + 3). Escribimos -3 a la izquierda del símbolo de división larga. Recuerda, siempre tomas lo contrario de lo que ves en el divisor. Ahora, estamos listos para comenzar la división sintética.

Nuestro primer paso es reducir el coeficiente principal, 2. Multiplica -3 por 2 y coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente, 0. Entonces, tenemos -6 escrito debajo del 0. Sume 0 + -6 y escribe eso a continuación. al coeficiente principal, 2.

Multiplica -3 por -6 y coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente, -14. Entonces, tenemos 18 escrito bajo -14. Suma -14 + 18 y escribe la suma de 4 junto al -6.

Multiplica -3 por 4 y coloca el resultado debajo del siguiente coeficiente, 10. Entonces, tenemos -12 escrito debajo del 10. Sume 10 + -12 y escribe la suma de -2 junto al 4. Aquí está nuestro resultado final. responde con el resto:

Cuando el último término no es un 0, tiene un resto.

¿Cómo sé que queda un resto? Porque nuestro último término no es un 0.

Pero, ¿cómo será la respuesta? En la división sintética, el grado de la respuesta polinomial final es uno menos que el polinomio del dividendo. Dado que 2 x ^ 3 + 10 – 14 x es el grado 3, nuestra respuesta será el grado 2.

Empezando por la izquierda, tendremos 2 x ^ 2 – 6 x + 4 con un resto de -2. El resto se escribirá igual que si hubiéramos hecho este problema como una división larga: una fracción. Entonces, nuestra respuesta se verá así 2 x ^ 2-6 x + 4 + (-2 / ( x + 3)).

Ejemplo # 3

Aquí está nuestro siguiente ejemplo: (6 y ^ 3 + 7 y ^ 2-5 y + 5) ÷ (3 y – 1).

Para completar nuestra división larga, (6 y ^ 3 + 7 y ^ 2 – 5 y + 5) es el dividendo, por lo que va debajo del símbolo de división larga. (3 y – 1) es el divisor, por lo que va hacia el exterior, delante del símbolo de división larga. Ahora, estamos listos para comenzar la división.

Para encontrar el primer término del cociente, tomamos los primeros términos del divisor y el dividendo y los dividimos: 6 y ^ 3/3 y . Me gusta escribirlos como una fracción. Es más fácil dividir: 6 y ^ 3/3 y = 2 y ^ 2. 2 y ^ 2 es el primer término del cociente. Lo escribimos sobre el símbolo de división larga.

Para averiguar lo que restaremos del dividendo, multiplicamos 2 y ^ 2 por el divisor, 3 y – 1. 6 y ^ 3 – 2 y ^ 2 se escribe debajo del dividendo, haciendo coincidir los términos semejantes. Para restar los polinomios, simplemente cambio el signo de los términos y sumo.

• 6 y ^ 3 – 6 y ^ 3 = 0
• 7 y ^ 2 + 2 y ^ 2 = 9 y ^ 2

Al igual que hicimos en la división larga, bajamos el próximo mandato, que es -5 y . ¿Adivina qué? Hacemos exactamente el mismo paso. Para encontrar el siguiente término del cociente, tomamos los nuevos primeros términos y los dividimos: 9 y ^ 2/3 y . Me gusta escribirlos como una fracción: 9 y ^ 2/3 y = 3 y . 3 y es el siguiente término del cociente. Recuerde, eso se escribe al lado del 2 y ^ 2 arriba del símbolo de división larga.

Para calcular lo que restaremos del dividendo, multiplicamos 3 y por el divisor, 3 y – 1. 3 y (3 y – 1) = 9 y ^ 2 – 3 y . 9 y ^ 2 – 3 y se escribe debajo del dividendo, emparejando términos semejantes. Para restar los polinomios, simplemente cambio los signos de los términos y agrego:

• 9 y ^ 2 – 9 y ^ 2 = 0
• -5 y + 3 y = -2 y

Al igual que hicimos en la división larga, reducimos el siguiente término, que es 5. Notarás que el dividendo ahora es -2 y + 5. Cuando dividimos para encontrar el siguiente término del cociente, tomamos el nuevo primeros términos y dividirlos. -2 y / 3 y . ¿Ves que terminamos con una fracción, -2/3? Bueno, no nos gustan las fracciones en el cociente excepto como resto, por lo que -2 y + 5 resulta ser nuestro resto. Así es como se verá la respuesta final:

2 y ^ 2 + 3 y + ((-2 y + 5) / (3 y – 1))

Resumen de la lección

Antes de terminar este video, repasemos cuándo usar la división larga y cuándo usar la división sintética. A mis estudiantes les gusta mucho la división sintética, pero no es adecuada para todos los problemas de división. ¿Cómo se la diferencia?

Cualquier problema de división que tenga un divisor como binomio de un grado es perfecto para la división sintética. Es por eso que lo usamos en (2 x ^ 3 + 10 – 14 x ) ÷ ( x + 3). x + 3 es un binomio de un grado con un coeficiente principal de 1.

Bueno. Es cierto que podemos usar la división sintética con un divisor que no tiene un coeficiente principal de 1, pero eso nos dará una fracción. Las fracciones son desordenadas y los estudiantes tienden a cometer más errores al usarlas, así que manténgase en un binomio de un grado con un coeficiente principal de 1.

Cualquier otro problema de división debe resolverse mediante división larga. Es por eso que lo usamos en (6 y ^ 3 + 7 y ^ 2-5 y + 5) ÷ (3 y – 1) y ( x ^ 3-9) ÷ ( x ^ 2 + 3).

Una regla final a tener en cuenta al realizar la división de polinomios: asegúrese siempre de que sus polinomios estén en orden descendente, del mayor exponente al menor. Si le falta un término, coloque un cero para mantener ese lugar, como hicimos en el ejemplo n. ° 1.

Los resultados del aprendizaje

Después de esta lección, podrá:

• Determinar cuándo utilizar la división larga frente a la división sintética para polinomios
• Explica las reglas para ambos tipos de división.
• Resolver problemas usando ambos tipos de división