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Ecuación de Eikonal: fórmula y ejemplos

Publicado el 10 enero, 2024

Ecuación de Eikonal

Una ecuación eikonal es una ecuación diferencial parcial (PDE) que es no lineal y de primer orden. Esto significa que la ecuación tiene dos o más variables con derivadas parciales. Las derivadas parciales son todas primeras derivadas y la ecuación es una PDE de primer orden. El exponente en estas ecuaciones suele ser 2. Pueden ser mayores que 2, pero nunca 1, ya que las ecuaciones eikonales no son lineales. La ecuación de Eikonal también puede clasificarse como una relación de Hamilton-Jacobi.

Fórmula

Más adelante en la lección se presentan ejemplos de ecuaciones eikonales individuales, pero en términos generales, las ecuaciones eikonales tienen la siguiente forma:

H ( x, ∇ u ( x )) = 0

El triángulo invertido (el símbolo nabla, pronunciado ‘del’) se refiere al gradiente. La H es una función con 2 n variables con u como solución.

Usos

Las ecuaciones de Eikonal se utilizan en los campos de la física y la astronomía. En el estudio de la óptica de neutrones, se presentan ecuaciones eikonales al vincular la óptica de ondas con la óptica de rayos. Por ejemplo, la ecuación de Eikonal ayuda a explicar la fase de un frente de onda de neutrones en comparación con sus rayos, que resultan ser perpendiculares al frente. También se utilizan para calcular los tiempos de llegada de los frentes de onda.

Debido a que las ecuaciones eikonales son PDE no lineales, los métodos para resolverlas no son tan sencillos como para las lineales. Suelen resolverse mediante aproximaciones numéricas o características.

  • El método de marcha rápida es un algoritmo de aproximación en el que el dominio de la ecuación se divide en cuadrículas regulares y las soluciones se encuentran marchando alrededor de la cuadrícula.
  • Los métodos de solución se pueden realizar a mano, pero los modelos computarizados son más adecuados para evitar el tedio de la repetición.

Las soluciones de las ecuaciones eikonales interesan a físicos, científicos e investigadores. Al encontrar soluciones a las ecuaciones eikonales, se pueden descubrir los caminos de los rayos de luz a través de diversos medios.

Ejemplos

Los siguientes son algunos ejemplos de ecuaciones eikonales o ecuaciones diferenciales parciales de primer orden no lineales.

La primera ecuación describe la superficie de una solución:

ecuación eikonal 1

La segunda ecuación es una ecuación eikonal para un medio isotrópico:

ecuación eikonal 2

La tercera ecuación es la ecuación del rayo eikonal para la luz:

ecuación eikonal 3

Resumen de la lección

En resumen, las ecuaciones eikonales (o relaciones de Hamilton-Jacobi) son ecuaciones diferenciales parciales no lineales de primer orden. Utilizadas en los campos de la física y la astronomía, las soluciones de ecuaciones eikonales describen la trayectoria de los rayos de luz a través de diversos medios. En general siguen la forma:

H ( x, ∇ u ( x )) = 0

La H representa la función dada con 2 n variables y la función u es la solución. El triángulo invertido se refiere al degradado. Normalmente, las ecuaciones eikonales tendrán un valor de exponente de 2.

Para resolverlos se utilizan aproximaciones numéricas o características.

  • El método de marcha rápida es un algoritmo de aproximación en el que el dominio de la ecuación se divide en cuadrículas regulares y las soluciones se encuentran marchando alrededor de la cuadrícula.
  • Los métodos de solución se pueden realizar manualmente, pero los modelos computarizados son un método más eficiente.

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