Ejemplos algebraicos abstractos y pasar de un gráfico a una regla

¿Qué es una ecuación abstracta ?

En esta lección, haremos algunos problemas que tienen que ver con ecuaciones lineales que son un poco más abstractas. Ahora, cuando digo abstracto, me refiero a que probablemente no tendrán muchos números y generalmente no habrá un procedimiento específico que pueda seguir para terminar con el resultado que están buscando. Estos problemas suelen ser un poco más difíciles y también un poco más difíciles de enseñar, pero espero que estos cuatro ejemplos que analizamos le den una idea de lo que estoy hablando.

Encontrar la ecuación de una gráfica

Comenzaremos con una pregunta que le muestra un gráfico y le pide que escriba la regla para ese gráfico. Mirando la gráfica, podemos decir que es una ecuación lineal porque es una línea recta y sabemos que cualquier ecuación lineal se puede escribir como y = mx + b , donde m es la pendiente y b es la intersección con el eje y . Así que es esencialmente nuestro trabajo averiguar esas dos cosas a partir del gráfico; ¿ Cuál es la pendiente y cuál es la intersección con el eje y ?

A menudo será más fácil encontrar primero la intersección y , pero no hay un orden en particular en el que deba hacer estas cosas. Continuaremos y haremos la intersección y primero. Sabemos que la intersección con el eje y es el punto donde la gráfica cruza el eje y . También es el punto de partida. En este caso, la gráfica cruza el eje y aquí mismo, que tiene las coordenadas (0,3) porque es donde x es cero y y es 3. Esto significa que ya conocemos la intersección y para esta gráfica, y es 3. Entonces ya tenemos la mitad de la ecuación hecha. Lo único que queda por encontrar es la pendiente.

Encontrar la pendiente de la gráfica

Ahora hay muchas palabras y frases diferentes para la pendiente; a menudo se usa ‘aumento sobre la ejecución’ o ‘cambio en y sobre cambio en x ‘, a menudo representado con los pequeños símbolos Delta. Pero todo lo que eso significa es que la pendiente es cuánto sube y baja la línea dividida por cuánto va hacia la izquierda y hacia la derecha. Entonces, podemos elegir dos puntos, dos puntos cualesquiera en este gráfico, y simplemente conectarlos con una línea recta hacia arriba y hacia abajo y una línea recta hacia la izquierda y hacia la derecha y contar para ver cuánto sube y baja, izquierda y derecha.

Entonces, tal vez elegiremos este punto y la intersección con el eje y . Trazo una línea recta hacia arriba y hacia abajo y una línea recta hacia la izquierda y hacia la derecha para llegar allí y simplemente contamos. Comencé aquí a las 5 y bajé 2, luego comencé en -3 y pasé por 3 a la derecha. Esto significa que mi pendiente, o mi subida sobre la carrera, o mi cambio en yy cambio en x – solo la cantidad que subí y bajé, que fue -2 sobre la cantidad que fui a la izquierda y la derecha – que fue positivo 3. I encuentro que mi pendiente es -2/3. Esto significa que la ecuación de mi línea es y = -2/3 x +3.

Gráfica de la ecuación y = – (2/3) x + 3

Identificación de gráficos basados ​​en la apariencia

La siguiente pregunta es un buen ejemplo de una pregunta más abstracta. Simplemente nos dice que si tenemos una línea que está escrita en la forma y = mx + b , y mi valor m es mayor que cero (por lo tanto es positivo) y mi valor b es menor que cero (lo que lo hace negativo), cuál de estos gráficos debe ser mi línea?

Por lo tanto, no vamos a ingresar ningún número y simplemente haremos un montón de operaciones y eventualmente terminaremos con una respuesta (lo que podría llamar ‘conectar y chug’). Esta pregunta simplemente requiere que usted tenga una comprensión de lo que m y b se encuentran en un nivel conceptual para que responda a ella.

Entonces, necesitamos saber que m es la pendiente, y la pendiente es la subida sobre la carrera nuevamente, y todas esas cosas diferentes que mencionamos, lo que significa que a medida que va hacia la derecha, también sube. Así que las pendientes positivas suben de izquierda a derecha; si está tratando de subirlo de izquierda a derecha, tendrá que subir la línea. Entonces sabemos que porque mi pendiente es positiva, tiene que subir de izquierda a derecha, por lo que podemos descartar estos dos ejemplos porque ambos van hacia abajo. Estos dos ejemplos tendrían pendientes negativas, así que sé que debe ser uno de los otros dos.

Lo que nos lleva a nuestra segunda pista de que b es negativo. Por tanto, debemos recordar que b es nuestra intersección con el eje y . Es el valor inicial. Es el punto donde la línea cruza el eje y . Y si b es negativo, eso significa que cruza el eje y debajo del eje x . Lo cruza en la parte inferior del gráfico en algún lugar. Esto significa que debido a que esta gráfica tiene una intersección y sobre el eje x , en la parte positiva del eje y , esto no puede ser, lo que nos lleva a nuestra respuesta aquí. Tiene pendiente positiva, sube de izquierda a derecha y comienza en la parte negativa de laeje y .

La gráfica con la intersección con el eje y positiva y la pendiente positiva

El gráfico inferior derecho coincide con la línea dada

Encontrar la pendiente más grande

Nuestro tercer ejemplo, nuevamente, no tiene números y simplemente nos pregunta cuál de las cuatro gráficas mostradas tiene la mayor pendiente. Nuevamente, simplemente necesitamos conocer una comprensión conceptual de qué es la pendiente: aumento sobre la carrera, cambio en y sobre cambio en x , cuánto sube y baja sobre cuánto va hacia la izquierda y hacia la derecha.

Para que mi pendiente sea un número grande, porque es una fracción, eso significa que tengo que tener un número grande en la parte superior de la fracción y un número pequeño en la parte inferior. Esto significa que tiene que subir y bajar mucho y solo un poco hacia la izquierda y hacia la derecha. Así que buscamos una línea que suba y baje mucho y un poco a la izquierda y a la derecha.

Miro mis opciones y pienso, ‘¿Qué línea sube y baja más?’ Y rápidamente se destaca que este es nuestro ganador.

El gráfico correcto tiene la línea más empinada para este ejemplo

Otra forma de pensar en esto es simplemente tener otra representación de pendiente. En lugar de utilizar todos estos términos matemáticos y fracciones, también podemos pensar en la pendiente como la pendiente de una línea. Cuanto más empinada sea la línea, mayor será la pendiente. Entonces, otra forma de hacer esta pregunta es ‘¿qué línea es la más empinada?’ En otras palabras, ¿qué línea, si intentaras subirla, sería la más difícil de subir? ¿Qué línea sería la montaña más difícil de escalar? Eso deja bastante claro que, nuevamente, este es nuestro ganador.

Resolver usando la forma estándar

Este último problema nos muestra el gráfico y nos dice que la forma de ecuación estándar de este gráfico es Ax + By = 1. A continuación, nos pide que de lo siguiente debe ser cierto acerca de A y B . Entonces, nuevamente, no hay muchos números en esta pregunta, y realmente requiere que tenga una comprensión fundamental de lo que es una ecuación en forma estándar y lo que A y B realmente pueden decirnos.

Lo que vamos a tener que saber de este problema tiene que ver con las intersecciones, en concreto el Y interceptación y la x intercepción. Lo que realmente debemos notar acerca de estas intersecciones es que esta intersección y es positiva y esta intersección con el eje x es negativa, y podemos usar ese hecho para responder nuestra pregunta.

La opción C es la respuesta correcta para el problema final.

Ahora, también necesitamos saber que en la intersección y , mi valor x es cero, lo que significa que si estoy resolviendo la intersección y , puedo reemplazar o sustituir cero por x y luego deshacer la B delante de la y dividiendo ambos lados por B , lo que me dará mi intercepción y . Esto significa que cuando obtengo mi intersección y dividiendo 1 positivo entre B , termino con un número positivo , lo que significa que 1 / B tiene que ser positivo, lo que significa que 1 y Btienen que ser del mismo signo, tanto positivo como negativo. Como 1 es positivo, B tiene que ser positivo, lo que significa que sé que mi respuesta no es esto ni esto.

Nuevamente, para repasar rápidamente eso (dije muchas cosas bastante rápido), sé que mi intercepción y es positiva, lo que significa que cuando resuelvo la intersección y dividiendo por B , tengo que obtener un número positivo . Para que 1 / B sea ​​positivo, deben tener el mismo signo, lo que significa que B debe ser el mismo signo que 1; 1 es positivo para B es positivo.

Hago exactamente lo mismo para la intersección x , excepto que sé que obtengo un número negativo. Esta vez, sustituyo cero por y , divido ambos lados de la ecuación por A , y como obtengo un número negativo, sé que 1 y A tienen que ser signos opuestos. Esto significa que en este caso, A es negativo, por lo que no es ninguno de estos, lo que significa que mi respuesta tiene que ser C.

Resumen de la lección

Lo único que hay que decir para repasar es que los ejemplos algebraicos abstractos pueden ser difíciles. A menudo no tienen muchos números, más solo variables y letras, y requieren que usted realmente tenga una comprensión conceptual fundamental de lo que está sucediendo. No hay un solo procedimiento que puedas aprender para resolverlos.

Pero es de esperar que estos ejemplos le den una mejor idea de lo que estoy hablando y le ayudarán a mejorar en problemas como este en el futuro.